Sr Examen

Gráfico de la función y = ((-1)^n+1)/n

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           n    
       (-1)  + 1
f(n) = ---------
           n    
$$f{\left(n \right)} = \frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n}$$
f = ((-1)^n + 1)/n
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$n_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje N con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje N:

Solución analítica
$$n_{1} = 1$$
Solución numérica
$$n_{1} = 27$$
$$n_{2} = -75$$
$$n_{3} = -79$$
$$n_{4} = 21$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando n es igual a 0:
sustituimos n = 0 en ((-1)^n + 1)/n.
$$\frac{\left(-1\right)^{0} + 1}{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(-1\right)^{n} i \pi}{n} - \frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \left(-1\right)^{n} \pi^{2} - \frac{2 \left(-1\right)^{n} i \pi}{n} + \frac{2 \left(\left(-1\right)^{n} + 1\right)}{n^{2}}}{n} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$n_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con n->+oo y n->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n}\right)$$
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-1)^n + 1)/n, dividida por n con n->+oo y n ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n^{2}}\right)$$
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n^{2}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-n) и f = -f(-n).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n} = - \frac{1 + \left(-1\right)^{- n}}{n}$$
- No
$$\frac{\left(-1\right)^{n} + 1}{n} = \frac{1 + \left(-1\right)^{- n}}{n}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar