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Trazado el gráfico de la función/ 4-3log^2x+1/(x-3)

Gráfico de la función y = 4-3log^2x+1/(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2        1  
f(x) = 4 - 3*log (x) + -----
                       x - 3
f(x)=(4−3log⁡(x)2)+1x−3f{\left(x \right)} = \left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3} 
f = 4 - 3*log(x)^2 + 1/(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4−3log⁡(x)2)+1x−3=0\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=3.77404188906552x_{1} = 3.77404188906552
x2=2.40680108256482x_{2} = 2.40680108256482
x3=0.333121939932184x_{3} = 0.333121939932184
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4 - 3*log(x)^2 + 1/(x - 3).
(4−3log⁡(0)2)+1−3\left(4 - 3 \log{\left(0 \right)}^{2}\right) + \frac{1}{-3}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(x−3)2−6log⁡(x)x=0- \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{6 \log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.962123786543168x_{1} = 0.962123786543168
Signos de extremos en los puntos:
(0.9621237865431678, 3.50482036361296)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.962123786543168x_{1} = 0.962123786543168
Decrece en los intervalos
(−∞,0.962123786543168]\left(-\infty, 0.962123786543168\right]
Crece en los intervalos
[0.962123786543168,∞)\left[0.962123786543168, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1(x−3)3+3log⁡(x)x2−3x2)=02 \left(\frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}} + \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4−3log⁡(x)2)+1x−3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4−3log⁡(x)2)+1x−3)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4 - 3*log(x)^2 + 1/(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4−3log⁡(x)2)+1x−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((4−3log⁡(x)2)+1x−3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4−3log⁡(x)2)+1x−3=−3log⁡(−x)2+4+1−x−3\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3} = - 3 \log{\left(- x \right)}^{2} + 4 + \frac{1}{- x - 3}
- No
(4−3log⁡(x)2)+1x−3=3log⁡(−x)2−4−1−x−3\left(4 - 3 \log{\left(x \right)}^{2}\right) + \frac{1}{x - 3} = 3 \log{\left(- x \right)}^{2} - 4 - \frac{1}{- x - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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