Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{6 \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 9} - 1\right)}{x^{2} + 2 x + 9} - \frac{4 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 9} + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \frac{\sqrt[3]{243 + 486 \sqrt{2} i}}{3} - \frac{27}{\sqrt[3]{243 + 486 \sqrt{2} i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - 2, \infty\right)$$