Sr Examen

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x^4-2x^2+2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 1-x^3 1-x^3
  • (1/2)^x (1/2)^x
  • x^2+5 x^2+5
  • (x^3+4)/x^2 (x^3+4)/x^2
  • Derivada de:
  • x^4-2x^2+2 x^4-2x^2+2

  • Expresiones idénticas

  • x^ cuatro - dos x^ dos +2
  • x en el grado 4 menos 2x al cuadrado más 2
  • x en el grado cuatro menos dos x en el grado dos más 2
  • x4-2x2+2
  • x⁴-2x²+2
  • x en el grado 4-2x en el grado 2+2

  • Expresiones semejantes

  • x^4+2x^2+2
  • x^4-2x^2-2
Trazado el gráfico de la función/ x^4-2x^2+2

Gráfico de la función y = x^4-2x^2+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2    
f(x) = x  - 2*x  + 2
f(x)=(x4−2x2)+2f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 
f = x^4 - 2*x^2 + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−2x2)+2=0\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 2*x^2 + 2.
(04−2⋅02)+2\left(0^{4} - 2 \cdot 0^{2}\right) + 2
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−4x=04 x^{3} - 4 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1)

(0, 2)

(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−1,0]∪[1,∞)\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,1]\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−1)=04 \left(3 x^{2} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−2x2)+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−2x2)+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 2*x^2 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−2x2)+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−2x2)+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−2x2)+2=(x4−2x2)+2\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2
- Sí
(x4−2x2)+2=(−x4+2x2)−2\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 2 = \left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) - 2
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-2x^2+2
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