Gráfico de la función y = x⁴-12x³+8x²-3x

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f(x) = x  - 12*x  + 8*x  - 3*x

f{\left(x \right)} = - 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right)

f = -3*x + 8*x^2 + x^4 - 12*x^3

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = 0

x_{2} = \frac{40}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{25881}}{18} + \frac{99}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{25881}}{18} + \frac{99}{2}} + 4

Solución numérica

x_{1} = 0

x_{2} = 11.3164931856358

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 12*x^3 + 8*x^2 - 3*x.

\left(\left(0^{4} - 12 \cdot 0^{3}\right) + 8 \cdot 0^{2}\right) - 0

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 0

Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

4 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x - 3 = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = \frac{23}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}} + 3

Signos de extremos en los puntos:

                                                                                                                    4                                                                                      3                                                                                       2 
          _________________                                  /         _________________                           \                                /         _________________                           \           _________________     /         _________________                           \  
         /         _______                                   |        /         _______                            |                                |        /         _______                            |          /         _______      |        /         _______                            |  
        /  171   \/ 32457                23                  |       /  171   \/ 32457                23           |              23                |       /  171   \/ 32457                23           |         /  171   \/ 32457       |       /  171   \/ 32457                23           |  
(3 + 3 /   --- + ---------  + ------------------------, -9 + |3 + 3 /   --- + ---------  + ------------------------|  - ---------------------- - 12*|3 + 3 /   --- + ---------  + ------------------------|  - 3*3 /   --- + ---------  + 8*|3 + 3 /   --- + ---------  + ------------------------| )
     \/     8        72              _________________       |    \/     8        72              _________________|         _________________      |    \/     8        72              _________________|      \/     8        72         |    \/     8        72              _________________|  
                                    /         _______        |                                   /         _______ |        /         _______       |                                   /         _______ |                                 |                                   /         _______ |  
                                   /  171   \/ 32457         |                                  /  171   \/ 32457  |       /  171   \/ 32457        |                                  /  171   \/ 32457  |                                 |                                  /  171   \/ 32457  |  
                              3*3 /   --- + ---------        |                             3*3 /   --- + --------- |    3 /   --- + ---------       |                             3*3 /   --- + --------- |                                 |                             3*3 /   --- + --------- |  
                                \/     8        72           \                               \/     8        72    /    \/     8        72          \                               \/     8        72    /                                 \                               \/     8        72    /

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:

x_{1} = \frac{23}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}} + 3

La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos

\left[\frac{23}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}} + 3, \infty\right)

Crece en los intervalos

\left(-\infty, \frac{23}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{32457}}{72} + \frac{171}{8}} + 3\right]

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

4 \left(3 x^{2} - 18 x + 4\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{69}}{3}

x_{2} = \frac{\sqrt{69}}{3} + 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{69}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{69}}{3} + 3, \infty\right)

Convexa en los intervalos

\left[3 - \frac{\sqrt{69}}{3}, \frac{\sqrt{69}}{3} + 3\right]

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right)\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right)\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 12*x^3 + 8*x^2 - 3*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right)}{x}\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right)}{x}\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right) = x^{4} + 12 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x

- No

- 3 x + \left(8 x^{2} + \left(x^{4} - 12 x^{3}\right)\right) = - x^{4} - 12 x^{3} - 8 x^{2} - 3 x

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = x⁴-12x³+8x²-3x

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución