Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos2xcosx

Gráfico de la función y = cos2xcosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(2*x)*cos(x)
f(x)=cos⁡(x)cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} 
f = cos(x)*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)cos⁡(2x)=0\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=86.3937979737193x_{1} = 86.3937979737193
x2=92.6769832808989x_{2} = 92.6769832808989
x3=−7.85398163397448x_{3} = -7.85398163397448
x4=−85.6083998103219x_{4} = -85.6083998103219
x5=−5.49778714378214x_{5} = -5.49778714378214
x6=1.5707963267949x_{6} = 1.5707963267949
x7=−58.1194640914112x_{7} = -58.1194640914112
x8=−55.7632696012188x_{8} = -55.7632696012188
x9=32.2013246992954x_{9} = 32.2013246992954
x10=55.7632696012188x_{10} = 55.7632696012188
x11=−45.553093477052x_{11} = -45.553093477052
x12=64.4026493985908x_{12} = 64.4026493985908
x13=84.037603483527x_{13} = 84.037603483527
x14=−29.845130209103x_{14} = -29.845130209103
x15=−32.2013246992954x_{15} = -32.2013246992954
x16=24.3473430653209x_{16} = 24.3473430653209
x17=70.6858347057703x_{17} = 70.6858347057703
x18=46.3384916404494x_{18} = 46.3384916404494
x19=42.4115008234622x_{19} = 42.4115008234622
x20=−25.9181393921158x_{20} = -25.9181393921158
x21=−32.9867228626928x_{21} = -32.9867228626928
x22=−76.1836218495525x_{22} = -76.1836218495525
x23=−19.6349540849362x_{23} = -19.6349540849362
x24=68.329640215578x_{24} = 68.329640215578
x25=95.8185759344887x_{25} = 95.8185759344887
x26=25.9181393921158x_{26} = 25.9181393921158
x27=3.92699081698724x_{27} = 3.92699081698724
x28=58.1194640914112x_{28} = 58.1194640914112
x29=−73.8274273593601x_{29} = -73.8274273593601
x30=7.85398163397448x_{30} = 7.85398163397448
x31=−91.8915851175014x_{31} = -91.8915851175014
x32=98.174770424681x_{32} = 98.174770424681
x33=89.5353906273091x_{33} = 89.5353906273091
x34=23.5619449019235x_{34} = 23.5619449019235
x35=−40.0553063332699x_{35} = -40.0553063332699
x36=−82.4668071567321x_{36} = -82.4668071567321
x37=−60.4756585816035x_{37} = -60.4756585816035
x38=−67.5442420521806x_{38} = -67.5442420521806
x39=20.4203522483337x_{39} = 20.4203522483337
x40=−71.4712328691678x_{40} = -71.4712328691678
x41=77.7544181763474x_{41} = 77.7544181763474
x42=−47.9092879672443x_{42} = -47.9092879672443
x43=33.7721210260903x_{43} = 33.7721210260903
x44=−14.1371669411541x_{44} = -14.1371669411541
x45=38.484510006475x_{45} = 38.484510006475
x46=−98.174770424681x_{46} = -98.174770424681
x47=−77.7544181763474x_{47} = -77.7544181763474
x48=29.845130209103x_{48} = 29.845130209103
x49=26.7035375555132x_{49} = 26.7035375555132
x50=48.6946861306418x_{50} = 48.6946861306418
x51=−27.4889357189107x_{51} = -27.4889357189107
x52=40.0553063332699x_{52} = 40.0553063332699
x53=−69.9004365423729x_{53} = -69.9004365423729
x54=54.1924732744239x_{54} = 54.1924732744239
x55=−54.1924732744239x_{55} = -54.1924732744239
x56=69.9004365423729x_{56} = 69.9004365423729
x57=80.1106126665397x_{57} = 80.1106126665397
x58=82.4668071567321x_{58} = 82.4668071567321
x59=90.3207887907066x_{59} = 90.3207887907066
x60=−33.7721210260903x_{60} = -33.7721210260903
x61=62.0464549083984x_{61} = 62.0464549083984
x62=60.4756585816035x_{62} = 60.4756585816035
x63=−95.8185759344887x_{63} = -95.8185759344887
x64=−36.1283155162826x_{64} = -36.1283155162826
x65=51.8362787842316x_{65} = 51.8362787842316
x66=−62.0464549083984x_{66} = -62.0464549083984
x67=−3.92699081698724x_{67} = -3.92699081698724
x68=10.2101761241668x_{68} = 10.2101761241668
x69=−1.5707963267949x_{69} = -1.5707963267949
x70=99.7455667514759x_{70} = 99.7455667514759
x71=−63.6172512351933x_{71} = -63.6172512351933
x72=−93.4623814442964x_{72} = -93.4623814442964
x73=−17.2787595947439x_{73} = -17.2787595947439
x74=45.553093477052x_{74} = 45.553093477052
x75=−51.8362787842316x_{75} = -51.8362787842316
x76=2.35619449019234x_{76} = 2.35619449019234
x77=4.71238898038469x_{77} = 4.71238898038469
x78=36.1283155162826x_{78} = 36.1283155162826
x79=11.7809724509617x_{79} = 11.7809724509617
x80=−10.2101761241668x_{80} = -10.2101761241668
x81=−23.5619449019235x_{81} = -23.5619449019235
x82=18.0641577581413x_{82} = 18.0641577581413
x83=−18.0641577581413x_{83} = -18.0641577581413
x84=16.4933614313464x_{84} = 16.4933614313464
x85=−84.037603483527x_{85} = -84.037603483527
x86=73.8274273593601x_{86} = 73.8274273593601
x87=−41.6261026600648x_{87} = -41.6261026600648
x88=14.1371669411541x_{88} = 14.1371669411541
x89=−89.5353906273091x_{89} = -89.5353906273091
x90=47.9092879672443x_{90} = 47.9092879672443
x91=91.8915851175014x_{91} = 91.8915851175014
x92=−49.4800842940392x_{92} = -49.4800842940392
x93=−80.1106126665397x_{93} = -80.1106126665397
x94=−11.7809724509617x_{94} = -11.7809724509617
x95=76.1836218495525x_{95} = 76.1836218495525
x96=67.5442420521806x_{96} = 67.5442420521806
x97=−99.7455667514759x_{97} = -99.7455667514759
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x)*cos(x).
cos⁡(0)cos⁡(0⋅2)\cos{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡(2x)−2sin⁡(2x)cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(3)−log⁡(−2−5i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(−2+5i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -1)

   /     /         ___\         \                                           /  /     /         ___\         \\ 
 I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/     /  /     /         ___\         \\    |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/| 
(--------------------------------, cos\I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)//*cos|--------------------------------|)
                2                                                           \               2                / 

   /     /         ___\         \                                           /  /     /         ___\         \\ 
 I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/     /  /     /         ___\         \\    |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/| 
(--------------------------------, cos\I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)//*cos|--------------------------------|)
                2                                                           \               2                /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
x2=−π2+atan⁡(52)2x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}
x3=−atan⁡(52)2+π2x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=0x_{3} = 0
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(52)2]∪[0,−atan⁡(52)2+π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)cos⁡(2x)=cos⁡(x)cos⁡(2x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- Sí
cos⁡(x)cos⁡(2x)=−cos⁡(x)cos⁡(2x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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