Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(cos^2x)*cosx

Gráfico de la función y = 1/(cos^2x)*cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        cos(x)
f(x) = -------
          2   
       cos (x)
f(x)=cos⁡(x)cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} 
f = cos(x)/cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)cos⁡2(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/cos(x)^2.
cos⁡(0)cos⁡2(0)\frac{\cos{\left(0 \right)}}{\cos^{2}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)cos⁡2(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1cos⁡(x)=0\frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cos⁡2(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)cos⁡2(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/cos(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(x)xcos⁡2(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cos⁡(x)xcos⁡2(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)cos⁡2(x)=cos⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}
- Sí
cos⁡(x)cos⁡2(x)=−cos⁡(x)cos⁡2(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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