Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1.5-0.4sqrt(x^3)-0.5log(x)

Gráfico de la función y = 1.5-0.4sqrt(x^3)-0.5log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                ____         
               /  3          
       3   2*\/  x     log(x)
f(x) = - - --------- - ------
       2       5         2
f(x)=(32−2x35)−log⁡(x)2f{\left(x \right)} = \left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} 
f = 3/2 - 2*sqrt(x^3)/5 - log(x)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(32−2x35)−log⁡(x)2=0\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e3−2W(6e925)3x_{1} = e^{3 - \frac{2 W\left(\frac{6 e^{\frac{9}{2}}}{5}\right)}{3}}
Solución numérica
x1=2.0200613254942x_{1} = 2.0200613254942
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3/2 - 2*sqrt(x^3)/5 - log(x)/2.
−log⁡(0)2+(32−2035)- \frac{\log{\left(0 \right)}}{2} + \left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{0^{3}}}{5}\right)
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x35x−12x=0- \frac{3 \sqrt{x^{3}}}{5 x} - \frac{1}{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
5−3x310x2=0\frac{5 - 3 \sqrt{x^{3}}}{10 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=33⋅5233x_{1} = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,33⋅5233]\left(-\infty, \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[33⋅5233,∞)\left[\frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((32−2x35)−log⁡(x)2)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((32−2x35)−log⁡(x)2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3/2 - 2*sqrt(x^3)/5 - log(x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((32−2x35)−log⁡(x)2x)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((32−2x35)−log⁡(x)2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(32−2x35)−log⁡(x)2=−2−x35−log⁡(−x)2+32\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} = - \frac{2 \sqrt{- x^{3}}}{5} - \frac{\log{\left(- x \right)}}{2} + \frac{3}{2}
- No
(32−2x35)−log⁡(x)2=2−x35+log⁡(−x)2−32\left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{5}\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} = \frac{2 \sqrt{- x^{3}}}{5} + \frac{\log{\left(- x \right)}}{2} - \frac{3}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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