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Trazado el gráfico de la función/ lnx-4,5x^2

Gráfico de la función y = lnx-4,5x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2
                9*x 
f(x) = log(x) - ----
                 2
f(x)=−9x22+log⁡(x)f{\left(x \right)} = - \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)} 
f = -9*x^2/2 + log(x)
Gráfico de la función
02468201012141618-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−9x22+log⁡(x)=0- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x) - 9*x^2/2.
log⁡(0)−9⋅022\log{\left(0 \right)} - \frac{9 \cdot 0^{2}}{2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−9x+1x=0- 9 x + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/3, -1/2 - log(3) + pi*I)

(1/3, -1/2 - log(3))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=13x_{2} = \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Crece en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(9+1x2)=0- (9 + \frac{1}{x^{2}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−9x22+log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−9x22+log⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x) - 9*x^2/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−9x22+log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−9x22+log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−9x22+log⁡(x)=−9x22+log⁡(−x)- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)} = - \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(- x \right)}
- No
−9x22+log⁡(x)=9x22−log⁡(−x)- \frac{9 x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)} = \frac{9 x^{2}}{2} - \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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