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Trazado el gráfico de la función/ lnx\x(1+ln(x)^2)

Gráfico de la función y = lnx\x(1+ln(x)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x) /       2   \
f(x) = ------*\1 + log (x)/
         x
f(x)=log⁡(x)x(log⁡(x)2+1)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) 
f = (log(x)/x)*(log(x)^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x(log⁡(x)2+1)=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(x)/x)*(1 + log(x)^2).
log⁡(0)0(log⁡(0)2+1)\frac{\log{\left(0 \right)}}{0} \left(\log{\left(0 \right)}^{2} + 1\right)
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−log⁡(x)x2+1x2)(log⁡(x)2+1)+2log⁡(x)2x2=0\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e23579+13+1+579+13x_{1} = e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}
Signos de extremos en los puntos:
           ____________                                                                                                                                      ____________                       
          /       ____                                                                                                                                      /       ____                        
         /      \/ 57              2                                                                                                                       /      \/ 57              2          
  1 + 3 /   1 + ------  + -------------------                                                                                                      -1 - 3 /   1 + ------  - ------------------- 
      \/          9              ____________                                                                                                           \/          9              ____________ 
                                /       ____   /                                                 2\                                                                               /       ____  
                               /      \/ 57    |    /         ____________                      \ | /         ____________                      \                                /      \/ 57   
                          3*3 /   1 + ------   |    |        /       ____                       | | |        /       ____                       |                           3*3 /   1 + ------  
                            \/          9      |    |       /      \/ 57              2         | | |       /      \/ 57              2         |                             \/          9     
(e                                          , |1 + |1 + 3 /   1 + ------  + -------------------| |*|1 + 3 /   1 + ------  + -------------------|*e                                            )
                                               |    |    \/          9              ____________| | |    \/          9              ____________|                                               
                                               |    |                              /       ____ | | |                              /       ____ |                                               
                                               |    |                             /      \/ 57  | | |                             /      \/ 57  |                                               
                                               |    |                        3*3 /   1 + ------ | | |                        3*3 /   1 + ------ |                                               
                                               \    \                          \/          9    / / \                          \/          9    /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e23579+13+1+579+13x_{1} = e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}
Decrece en los intervalos
(−∞,e23579+13+1+579+13]\left(-\infty, e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}\right]
Crece en los intervalos
[e23579+13+1+579+13,∞)\left[e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−6(log⁡(x)−1)log⁡(x)+(2log⁡(x)−3)(log⁡(x)2+1)x3=0\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e111264236+983+64236+983+32x_{1} = e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−6(log⁡(x)−1)log⁡(x)+(2log⁡(x)−3)(log⁡(x)2+1)x3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(−6(log⁡(x)−1)log⁡(x)+(2log⁡(x)−3)(log⁡(x)2+1)x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e111264236+983+64236+983+32,∞)\left[e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e111264236+983+64236+983+32]\left(-\infty, e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x(log⁡(x)2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x(log⁡(x)2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x)/x)*(1 + log(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((log⁡(x)2+1)log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((log⁡(x)2+1)log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x(log⁡(x)2+1)=−(log⁡(−x)2+1)log⁡(−x)x\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = - \frac{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}
- No
log⁡(x)x(log⁡(x)2+1)=(log⁡(−x)2+1)log⁡(−x)x\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = \frac{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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