Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
x/(x^2-1)^(1/3)
-
x*e^(-((x^2)/2))
-
(x^2-5)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- lnx\x(uno +ln(x)^ dos)
- lnx\x(1 más ln(x) al cuadrado )
- lnx\x(uno más ln(x) en el grado dos)
- lnx\x(1+ln(x)2)
- lnx\x1+lnx2
- lnx\x(1+ln(x)²)
- lnx\x(1+ln(x) en el grado 2)
- lnx\x1+lnx^2
-
Expresiones semejantes
- lnx\x(1-ln(x)^2)
-
Expresiones con funciones
- lnx
- lnx-x*(e^3)
- lnx-(-1/3)x
- lnx-x
- lnx-((ln^3x)/3)
- lnx+x^2/2
- ln
- ln(x^2/(x-1))
- ln(x/(x-2))
- ln(x^2-6x+10)
- ln(1+x^3)
- ln(-x)+1
Gráfico de la función y = lnx\x(1+ln(x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
log(x) / 2 \
f(x) = ------*\1 + log (x)/
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)$$
f = (log(x)/x)*(log(x)^2 + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}$$
Signos de extremos en los puntos:
____________ ____________
/ ____ / ____
/ \/ 57 2 / \/ 57 2
1 + 3 / 1 + ------ + ------------------- -1 - 3 / 1 + ------ - -------------------
\/ 9 ____________ \/ 9 ____________
/ ____ / 2\ / ____
/ \/ 57 | / ____________ \ | / ____________ \ / \/ 57
3*3 / 1 + ------ | | / ____ | | | / ____ | 3*3 / 1 + ------
\/ 9 | | / \/ 57 2 | | | / \/ 57 2 | \/ 9
(e , |1 + |1 + 3 / 1 + ------ + -------------------| |*|1 + 3 / 1 + ------ + -------------------|*e )
| | \/ 9 ____________| | | \/ 9 ____________|
| | / ____ | | | / ____ |
| | / \/ 57 | | | / \/ 57 |
| | 3*3 / 1 + ------ | | | 3*3 / 1 + ------ |
\ \ \/ 9 / / \ \/ 9 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{57}}{9} + 1}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{11}{12 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{642}}{36} + \frac{9}{8}} + \frac{3}{2}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x)/x)*(1 + log(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = - \frac{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = \frac{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = - \frac{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right) = \frac{\left(\log{\left(- x \right)}^{2} + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar