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ln((3-2x-x))^2

Gráfico de la función y = ln((3-2x-x))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          2             
f(x) = log (3 - 2*x - x)
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2}$$
f = log(-x + 3 - 2*x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.666666519982159$$
$$x_{2} = 0.666666587921689$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3 - 2*x - x)^2.
$$\log{\left(- 0 + \left(3 - 0\right) \right)}^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(3 \right)}^{2}$$
Punto:
(0, log(3)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 \log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}}{- x + \left(3 - 2 x\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(2/3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \log{\left(3 \left(1 - x\right) \right)}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{e}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 - \frac{e}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{e}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3 - 2*x - x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2} = \log{\left(3 x + 3 \right)}^{2}$$
- No
$$\log{\left(- x + \left(3 - 2 x\right) \right)}^{2} = - \log{\left(3 x + 3 \right)}^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln((3-2x-x))^2