Sr Examen

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ln(3-2*x-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ ln(3-2*x-x^2)

Gráfico de la función y = ln(3-2*x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /           2\
f(x) = log\3 - 2*x - x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)}$$ 
f = log(-x^2 + 3 - 2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} - 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.732050807568877$$
$$x_{2} = -2.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3 - 2*x - x^2).
$$\log{\left(- 0^{2} + \left(3 - 0\right) \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(3 \right)}$$
Punto:
(0, log(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 2 x - 2}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, log(4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} + 1\right)}{x^{2} + 2 x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3 - 2*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)} = \log{\left(- x^{2} + 2 x + 3 \right)}$$
- No
$$\log{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right) \right)} = - \log{\left(- x^{2} + 2 x + 3 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(3-2*x-x^2)
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