Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{8 x^{2} \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{4 x \left(2 x - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{- x^{2} + 5 x + 6} - 2 - \frac{2 \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4}}{- x^{2} + 5 x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.49800198001883$$
$$x_{2} = 0.379235374219055$$
$$x_{3} = 3.97522609684514$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\frac{8 x^{2} \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{4 x \left(2 x - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{- x^{2} + 5 x + 6} - 2 - \frac{2 \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{8 x^{2} \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{4 x \left(2 x - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{- x^{2} + 5 x + 6} - 2 - \frac{2 \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\frac{8 x^{2} \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{4 x \left(2 x - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{- x^{2} + 5 x + 6} - 2 - \frac{2 \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{8 x^{2} \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{4 x \left(2 x - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{x^{2} - 4} - \frac{\left(2 x - 5\right) \left(2 x + \frac{2 x \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4} - 5\right)}{- x^{2} + 5 x + 6} - 2 - \frac{2 \left(- x^{2} + 5 x + 6\right)}{x^{2} - 4}}{- x^{2} + 5 x + 6}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.49800198001883\right] \cup \left[0.379235374219055, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.379235374219055\right] \cup \left[3.97522609684514, \infty\right)$$