Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)*e^(3x-1)
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos)- ochenta y uno /(x- nueve)
- (x al cuadrado ) menos 81 dividir por (x menos 9)
- (x en el grado dos) menos ochenta y uno dividir por (x menos nueve)
- (x2)-81/(x-9)
- x2-81/x-9
- (x²)-81/(x-9)
- (x en el grado 2)-81/(x-9)
- x^2-81/x-9
- (x^2)-81 dividir por (x-9)
-
Expresiones semejantes
- (x^2)+81/(x-9)
- (x^2)-81/(x+9)
Gráfico de la función y = (x^2)-81/(x-9)
Solución
Ha introducido
[src]
2 81
f(x) = x - -----
x - 9
$$f{\left(x \right)} = x^{2} - \frac{81}{x - 9}$$
f = x^2 - 81/(x - 9)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 9$$
$$x_{1} = 9$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} - \frac{81}{x - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}}} + 3 + 3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 9.83705635849978$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} - \frac{81}{x - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}}} + 3 + 3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 9.83705635849978$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + \frac{81}{\left(x - 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + \frac{81}{\left(x - 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_________________ / _________________ \
/ ____ | / ____ |
/ 189 27*\/ 33 9 | / 189 27*\/ 33 9 | 81
(6 - 3 / --- + --------- - ----------------------, |6 - 3 / --- + --------- - ----------------------| - ----------------------------------------------------)
\/ 4 4 _________________ | \/ 4 4 _________________| _________________
/ ____ | / ____ | / ____
/ 189 27*\/ 33 | / 189 27*\/ 33 | / 189 27*\/ 33 9
3 / --- + --------- | 3 / --- + --------- | -3 - 3 / --- + --------- - ----------------------
\/ 4 4 \ \/ 4 4 / \/ 4 4 _________________
/ ____
/ 189 27*\/ 33
3 / --- + ---------
\/ 4 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{33}}{4} + \frac{189}{4}}} + 6\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{81}{\left(x - 9\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 \sqrt[3]{3} + 9$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 9$$
$$\lim_{x \to 9^-}\left(2 \left(1 - \frac{81}{\left(x - 9\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 9^+}\left(2 \left(1 - \frac{81}{\left(x - 9\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 9$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 \sqrt[3]{3} + 9, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 \sqrt[3]{3} + 9\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 - \frac{81}{\left(x - 9\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 \sqrt[3]{3} + 9$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 9$$
$$\lim_{x \to 9^-}\left(2 \left(1 - \frac{81}{\left(x - 9\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 9^+}\left(2 \left(1 - \frac{81}{\left(x - 9\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 9$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 \sqrt[3]{3} + 9, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 \sqrt[3]{3} + 9\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 9$$
$$x_{1} = 9$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{81}{x - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{81}{x - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \frac{81}{x - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \frac{81}{x - 9}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 81/(x - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{81}{x - 9}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{81}{x - 9}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{81}{x - 9}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \frac{81}{x - 9}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} - \frac{81}{x - 9} = x^{2} - \frac{81}{- x - 9}$$
- No
$$x^{2} - \frac{81}{x - 9} = - x^{2} + \frac{81}{- x - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} - \frac{81}{x - 9} = x^{2} - \frac{81}{- x - 9}$$
- No
$$x^{2} - \frac{81}{x - 9} = - x^{2} + \frac{81}{- x - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar