Sr Examen

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(x+3)/(x^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x+3)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = (x+3)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 3 
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=x+3x2−1f{\left(x \right)} = \frac{x + 3}{x^{2} - 1} 
f = (x + 3)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+3x2−1=0\frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 3)/(x^2 - 1).
3−1+02\frac{3}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+3)(x2−1)2+1x2−1=0- \frac{2 x \left(x + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3−22x_{1} = -3 - 2 \sqrt{2}
x2=−3+22x_{2} = -3 + 2 \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
                          ___       
          ___        -2*\/ 2        
(-3 - 2*\/ 2, --------------------)
                                  2 
                    /         ___\  
               -1 + \-3 - 2*\/ 2 /  

                         ___        
          ___        2*\/ 2         
(-3 + 2*\/ 2, --------------------)
                                  2 
                    /         ___\  
               -1 + \-3 + 2*\/ 2 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3−22x_{1} = -3 - 2 \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−3+22x_{1} = -3 + 2 \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
[−3−22,−3+22]\left[-3 - 2 \sqrt{2}, -3 + 2 \sqrt{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−3−22]∪[−3+22,∞)\left(-\infty, -3 - 2 \sqrt{2}\right] \cup \left[-3 + 2 \sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x+3)(4x2x2−1−1))(x2−1)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2⋅223−3−223x_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3 - 2 \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(−2x+(x+3)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(−2x+(x+3)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(−2x+(x+3)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(−2x+(x+3)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2⋅223−3−223,∞)\left[- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3 - 2 \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2⋅223−3−223]\left(-\infty, - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3 - 2 \sqrt[3]{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+3x2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+3x2−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 3)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+3x(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+3x(x2−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+3x2−1=3−xx2−1\frac{x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{3 - x}{x^{2} - 1}
- No
x+3x2−1=−3−xx2−1\frac{x + 3}{x^{2} - 1} = - \frac{3 - x}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+3)/(x^2-1)
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