Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4/(1+x)^3
-
x/2
-
-x+1
-
2*x+1
- Integral de d{x}:
- (x+3)/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- (x+ tres)/(x^ dos + uno)
- (x más 3) dividir por (x al cuadrado más 1)
- (x más tres) dividir por (x en el grado dos más uno)
- (x+3)/(x2+1)
- x+3/x2+1
- (x+3)/(x²+1)
- (x+3)/(x en el grado 2+1)
- x+3/x^2+1
- (x+3) dividir por (x^2+1)
-
Expresiones semejantes
- (x+3)/(x^2-1)
- (x-3)/(x^2+1)
Gráfico de la función y = (x+3)/(x^2+1)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 3
f(x) = ------
2
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 3}{x^{2} + 1}$$
f = (x + 3)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
$$x_{2} = - \sqrt{10} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{10} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{10} - 3, -3 + \sqrt{10}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{10} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{10}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
$$x_{2} = - \sqrt{10} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
____
____ \/ 10
(-3 + \/ 10, ------------------)
2
/ ____\
1 + \-3 + \/ 10 / ____
____ -\/ 10
(-3 - \/ 10, ------------------)
2
/ ____\
1 + \-3 - \/ 10 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{10} - 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3 + \sqrt{10}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{10} - 3, -3 + \sqrt{10}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{10} - 3\right] \cup \left[-3 + \sqrt{10}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 - \frac{\sqrt[3]{810 + 270 i}}{3} - \frac{30}{\sqrt[3]{810 + 270 i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} \right)} - 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} \right)} - 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 - \frac{\sqrt[3]{810 + 270 i}}{3} - \frac{30}{\sqrt[3]{810 + 270 i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} \right)} - 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} \right)} - 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 3)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 3}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = \frac{3 - x}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = - \frac{3 - x}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = \frac{3 - x}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = - \frac{3 - x}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico