Sr Examen

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(2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))
Trazado el gráfico de la función/ (2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))

Gráfico de la función y = (2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4      3      2          
       2*x  - 5*x  + 2*x  + 4*x - 1
f(x) = ----------------------------
                    2              
             (x - 1) *(x + 1)
f(x)=(4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1(x−1)2(x+1)f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} 
f = (4*x + 2*x^2 + 2*x^4 - 5*x^3 - 1)/(((x - 1)^2*(x + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1(x−1)2(x+1)=0\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−59524011152+85334563+4348+2524011152+853345632−−2524011152+85334563−59524011152+85334563+833259524011152+85334563+4348+2524011152+85334563+43242+58x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}} - \frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{83}{32 \sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}} + \frac{43}{24}}}{2} + \frac{5}{8}
x2=−59524011152+85334563+4348+2524011152+853345632+−2524011152+85334563−59524011152+85334563+833259524011152+85334563+4348+2524011152+85334563+43242+58x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}} - \frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{83}{32 \sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}} + \frac{43}{24}}}{2} + \frac{5}{8}
Solución numérica
x1=−0.762014467771312x_{1} = -0.762014467771312
x2=0.236979190754206x_{2} = 0.236979190754206
x3=0.236979190754206x_{3} = 0.236979190754206
x4=0.236979190754204x_{4} = 0.236979190754204
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x^4 - 5*x^3 + 2*x^2 + 4*x - 1)/(((x - 1)^2*(x + 1))).
−1+(((2⋅04−5⋅03)+2⋅02)+0⋅4)(−1)2\frac{-1 + \left(\left(\left(2 \cdot 0^{4} - 5 \cdot 0^{3}\right) + 2 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 4\right)}{\left(-1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(x−1)2(x+1)(8x3−15x2+4x+4)+(−(x−1)2−(x+1)(2x−2))((4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1)(x−1)4(x+1)2=0\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} \left(8 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 4\right) + \frac{\left(- \left(x - 1\right)^{2} - \left(x + 1\right) \left(2 x - 2\right)\right) \left(\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{4} \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.68960712631438x_{1} = -1.68960712631438
x2=−0.395439962101654x_{2} = -0.395439962101654
x3=2.01898502766003x_{3} = 2.01898502766003
Signos de extremos en los puntos:
(-1.68960712631438, -7.69107891122844)

(-0.395439962101654, -1.62324045360594)

(2.01898502766003, 2.33229170888532)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.395439962101654x_{1} = -0.395439962101654
x2=2.01898502766003x_{2} = 2.01898502766003
Puntos máximos de la función:
x2=−1.68960712631438x_{2} = -1.68960712631438
Decrece en los intervalos
[2.01898502766003,∞)\left[2.01898502766003, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1.68960712631438,−0.395439962101654]\left[-1.68960712631438, -0.395439962101654\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
24x2−30x+4−2(3x+1)(8x3−15x2+4x+4)(x−1)(x+1)+((3x+1)(1x+1+2x−1)+3x+1x+1−2(3x−1)x−1+2(3x+1)x−1)(2x4−5x3+2x2+4x−1)(x−1)(x+1)(x−1)2(x+1)=0\frac{24 x^{2} - 30 x + 4 - \frac{2 \left(3 x + 1\right) \left(8 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 4\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\left(\left(3 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 1}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1}\right) \left(2 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1(x−1)2(x+1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1(x−1)2(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1(x−1)2(x+1)=2x4+5x3+2x2−4x−1(1−x)(−x−1)2\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = \frac{2 x^{4} + 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1}{\left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}
- No
(4x+(2x2+(2x4−5x3)))−1(x−1)2(x+1)=−2x4+5x3+2x2−4x−1(1−x)(−x−1)2\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = - \frac{2 x^{4} + 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1}{\left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))
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