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(2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))

Gráfico de la función y = (2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          4      3      2          
       2*x  - 5*x  + 2*x  + 4*x - 1
f(x) = ----------------------------
                    2              
             (x - 1) *(x + 1)      
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}$$
f = (4*x + 2*x^2 + 2*x^4 - 5*x^3 - 1)/(((x - 1)^2*(x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}} - \frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{83}{32 \sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}} + \frac{43}{24}}}{2} + \frac{5}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}} - \frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{83}{32 \sqrt{\frac{5}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}} + \frac{43}{48} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{52401}}{1152} + \frac{853}{3456}}}} + \frac{43}{24}}}{2} + \frac{5}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.762014467771312$$
$$x_{2} = 0.236979190754206$$
$$x_{3} = 0.236979190754206$$
$$x_{4} = 0.236979190754204$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x^4 - 5*x^3 + 2*x^2 + 4*x - 1)/(((x - 1)^2*(x + 1))).
$$\frac{-1 + \left(\left(\left(2 \cdot 0^{4} - 5 \cdot 0^{3}\right) + 2 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 4\right)}{\left(-1\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} \left(8 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 4\right) + \frac{\left(- \left(x - 1\right)^{2} - \left(x + 1\right) \left(2 x - 2\right)\right) \left(\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{4} \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.68960712631438$$
$$x_{2} = -0.395439962101654$$
$$x_{3} = 2.01898502766003$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1.68960712631438, -7.69107891122844)

(-0.395439962101654, -1.62324045360594)

(2.01898502766003, 2.33229170888532)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -0.395439962101654$$
$$x_{2} = 2.01898502766003$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -1.68960712631438$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2.01898502766003, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1.68960712631438, -0.395439962101654\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{24 x^{2} - 30 x + 4 - \frac{2 \left(3 x + 1\right) \left(8 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 4\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\left(\left(3 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 1}{x + 1} - \frac{2 \left(3 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1}\right) \left(2 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = \frac{2 x^{4} + 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1}{\left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(4 x + \left(2 x^{2} + \left(2 x^{4} - 5 x^{3}\right)\right)\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} = - \frac{2 x^{4} + 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1}{\left(1 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (2*x^4-5*x^3+2*x^2+4*x-1)/((x-1)^2*(x+1))