Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+4)*exp(2x)
-
(x^4-3x^2)/(x^2-1)^2
-
x^4/4-3*x^2/2
-
x^4-8/3*x^3-6*x^2+1
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro - ocho / tres *x^ tres - seis *x^ dos + uno
- x en el grado 4 menos 8 dividir por 3 multiplicar por x al cubo menos 6 multiplicar por x al cuadrado más 1
- x en el grado cuatro menos ocho dividir por tres multiplicar por x en el grado tres menos seis multiplicar por x en el grado dos más uno
- x4-8/3*x3-6*x2+1
- x⁴-8/3*x³-6*x²+1
- x en el grado 4-8/3*x en el grado 3-6*x en el grado 2+1
- x^4-8/3x^3-6x^2+1
- x4-8/3x3-6x2+1
- x^4-8 dividir por 3*x^3-6*x^2+1
-
Expresiones semejantes
- x^4-8/3*x^3-6*x^2-1
- x^4-8/3*x^3+6*x^2+1
- x^4+8/3*x^3-6*x^2+1
Gráfico de la función y = x^4-8/3*x^3-6*x^2+1
Solución
Ha introducido
[src]
3
4 8*x 2
f(x) = x - ---- - 6*x + 1
3
$$f{\left(x \right)} = \left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1$$
f = -6*x^2 + x^4 - 8*x^3/3 + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} - \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} - \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.11157447434758$$
$$x_{2} = 0.381475374124104$$
$$x_{3} = -0.470074660199517$$
$$x_{4} = -1.3563085216055$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} - \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} - \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{\frac{104}{9} - 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}} - \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{52}{9} + \frac{8}{3 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4}{9} + \frac{4 \sqrt{11} i}{9}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.11157447434758$$
$$x_{2} = 0.381475374124104$$
$$x_{3} = -0.470074660199517$$
$$x_{4} = -1.3563085216055$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 8 x^{2} - 12 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 8 x^{2} - 12 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -4/3)
(0, 1)
(3, -44)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 4 x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}, \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(3 x^{2} - 4 x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}, \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 8*x^3/3 - 6*x^2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1 = x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 1$$
- No
$$\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1 = - x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3} + 6 x^{2} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1 = x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3} - 6 x^{2} + 1$$
- No
$$\left(- 6 x^{2} + \left(x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3}\right)\right) + 1 = - x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3} + 6 x^{2} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico