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(x²-1)³
Trazado el gráfico de la función/ (x²-1)³

Gráfico de la función y = (x²-1)³

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               3
       / 2    \ 
f(x) = \x  - 1/
f(x)=(x2−1)3f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 1\right)^{3} 
f = (x^2 - 1)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−1)3=0\left(x^{2} - 1\right)^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 1)^3.
(−1+02)3\left(-1 + 0^{2}\right)^{3}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x(x2−1)2=06 x \left(x^{2} - 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(0, -1)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x2−1)(5x2−1)=06 \left(x^{2} - 1\right) \left(5 x^{2} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−55x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{5}
x4=55x_{4} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−55]∪[55,1]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{5}, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1)3=∞\lim_{x \to -\infty} \left(x^{2} - 1\right)^{3} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−1)3=∞\lim_{x \to \infty} \left(x^{2} - 1\right)^{3} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−1)3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−1)3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−1)3=(x2−1)3\left(x^{2} - 1\right)^{3} = \left(x^{2} - 1\right)^{3}
- Sí
(x2−1)3=−(x2−1)3\left(x^{2} - 1\right)^{3} = - \left(x^{2} - 1\right)^{3}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (x²-1)³
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