Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- dos /3cos(t)- uno /3cos(t)
- 2 dividir por 3 coseno de (t) menos 1 dividir por 3 coseno de (t)
- dos dividir por 3 coseno de (t) menos uno dividir por 3 coseno de (t)
- 2/3cost-1/3cost
- 2 dividir por 3cos(t)-1 dividir por 3cos(t)
-
Expresiones semejantes
- 2/3cos(t)+1/3cos(t)
Gráfico de la función y = 2/3cos(t)-1/3cos(t)
Solución
Ha introducido
[src]
2*cos(t) cos(t)
f(t) = -------- - ------
3 3
$$f{\left(t \right)} = - \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}$$
f = -cos(t)/3 + 2*cos(t)/3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 48.6946861306418$$
$$t_{2} = 92.6769832808989$$
$$t_{3} = 86.3937979737193$$
$$t_{4} = -7.85398163397448$$
$$t_{5} = -86.3937979737193$$
$$t_{6} = 1.5707963267949$$
$$t_{7} = -64.4026493985908$$
$$t_{8} = -58.1194640914112$$
$$t_{9} = -83.2522053201295$$
$$t_{10} = -54.9778714378214$$
$$t_{11} = 54.9778714378214$$
$$t_{12} = 89.5353906273091$$
$$t_{13} = -20.4203522483337$$
$$t_{14} = 32.9867228626928$$
$$t_{15} = -17.2787595947439$$
$$t_{16} = 23.5619449019235$$
$$t_{17} = -45.553093477052$$
$$t_{18} = 64.4026493985908$$
$$t_{19} = 45.553093477052$$
$$t_{20} = 83.2522053201295$$
$$t_{21} = -29.845130209103$$
$$t_{22} = -51.8362787842316$$
$$t_{23} = 80.1106126665397$$
$$t_{24} = -3623.82712591583$$
$$t_{25} = -39.2699081698724$$
$$t_{26} = -92.6769832808989$$
$$t_{27} = 4.71238898038469$$
$$t_{28} = 70.6858347057703$$
$$t_{29} = 36.1283155162826$$
$$t_{30} = -70.6858347057703$$
$$t_{31} = -48.6946861306418$$
$$t_{32} = 42.4115008234622$$
$$t_{33} = -2266.65909956504$$
$$t_{34} = -42.4115008234622$$
$$t_{35} = -67.5442420521806$$
$$t_{36} = 10.9955742875643$$
$$t_{37} = 98.9601685880785$$
$$t_{38} = -23.5619449019235$$
$$t_{39} = 20.4203522483337$$
$$t_{40} = -61.261056745001$$
$$t_{41} = -10.9955742875643$$
$$t_{42} = 17.2787595947439$$
$$t_{43} = -95.8185759344887$$
$$t_{44} = -36.1283155162826$$
$$t_{45} = 61.261056745001$$
$$t_{46} = 73.8274273593601$$
$$t_{47} = 14.1371669411541$$
$$t_{48} = -26.7035375555132$$
$$t_{49} = 51.8362787842316$$
$$t_{50} = -89.5353906273091$$
$$t_{51} = 39.2699081698724$$
$$t_{52} = -387.986692718339$$
$$t_{53} = -32.9867228626928$$
$$t_{54} = -14.1371669411541$$
$$t_{55} = -4.71238898038469$$
$$t_{56} = -76.9690200129499$$
$$t_{57} = 95.8185759344887$$
$$t_{58} = 76.9690200129499$$
$$t_{59} = 58.1194640914112$$
$$t_{60} = -80.1106126665397$$
$$t_{61} = -73.8274273593601$$
$$t_{62} = 7.85398163397448$$
$$t_{63} = -1.5707963267949$$
$$t_{64} = 29.845130209103$$
$$t_{65} = 67.5442420521806$$
$$t_{66} = 26.7035375555132$$
$$t_{67} = -98.9601685880785$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 48.6946861306418$$
$$t_{2} = 92.6769832808989$$
$$t_{3} = 86.3937979737193$$
$$t_{4} = -7.85398163397448$$
$$t_{5} = -86.3937979737193$$
$$t_{6} = 1.5707963267949$$
$$t_{7} = -64.4026493985908$$
$$t_{8} = -58.1194640914112$$
$$t_{9} = -83.2522053201295$$
$$t_{10} = -54.9778714378214$$
$$t_{11} = 54.9778714378214$$
$$t_{12} = 89.5353906273091$$
$$t_{13} = -20.4203522483337$$
$$t_{14} = 32.9867228626928$$
$$t_{15} = -17.2787595947439$$
$$t_{16} = 23.5619449019235$$
$$t_{17} = -45.553093477052$$
$$t_{18} = 64.4026493985908$$
$$t_{19} = 45.553093477052$$
$$t_{20} = 83.2522053201295$$
$$t_{21} = -29.845130209103$$
$$t_{22} = -51.8362787842316$$
$$t_{23} = 80.1106126665397$$
$$t_{24} = -3623.82712591583$$
$$t_{25} = -39.2699081698724$$
$$t_{26} = -92.6769832808989$$
$$t_{27} = 4.71238898038469$$
$$t_{28} = 70.6858347057703$$
$$t_{29} = 36.1283155162826$$
$$t_{30} = -70.6858347057703$$
$$t_{31} = -48.6946861306418$$
$$t_{32} = 42.4115008234622$$
$$t_{33} = -2266.65909956504$$
$$t_{34} = -42.4115008234622$$
$$t_{35} = -67.5442420521806$$
$$t_{36} = 10.9955742875643$$
$$t_{37} = 98.9601685880785$$
$$t_{38} = -23.5619449019235$$
$$t_{39} = 20.4203522483337$$
$$t_{40} = -61.261056745001$$
$$t_{41} = -10.9955742875643$$
$$t_{42} = 17.2787595947439$$
$$t_{43} = -95.8185759344887$$
$$t_{44} = -36.1283155162826$$
$$t_{45} = 61.261056745001$$
$$t_{46} = 73.8274273593601$$
$$t_{47} = 14.1371669411541$$
$$t_{48} = -26.7035375555132$$
$$t_{49} = 51.8362787842316$$
$$t_{50} = -89.5353906273091$$
$$t_{51} = 39.2699081698724$$
$$t_{52} = -387.986692718339$$
$$t_{53} = -32.9867228626928$$
$$t_{54} = -14.1371669411541$$
$$t_{55} = -4.71238898038469$$
$$t_{56} = -76.9690200129499$$
$$t_{57} = 95.8185759344887$$
$$t_{58} = 76.9690200129499$$
$$t_{59} = 58.1194640914112$$
$$t_{60} = -80.1106126665397$$
$$t_{61} = -73.8274273593601$$
$$t_{62} = 7.85398163397448$$
$$t_{63} = -1.5707963267949$$
$$t_{64} = 29.845130209103$$
$$t_{65} = 67.5442420521806$$
$$t_{66} = 26.7035375555132$$
$$t_{67} = -98.9601685880785$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(t \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(t \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/3)
(pi, -1/3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(t)/3 - cos(t)/3, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} = - \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}$$
- Sí
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} = - \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(t \right)}}{3}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} = - \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3}$$
- Sí
$$- \frac{\cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} = - \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(t \right)}}{3}$$
- No
es decir, función
es
par