Sr Examen
Gráfico de la función y = -sqrt(-1+sqrt(1-x^2))
Solución
Ha introducido
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f(x) = -\/ -1 + \/ 1 - x
$$f{\left(x \right)} = - \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}$$
f = -sqrt(sqrt(1 - x^2) - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{2 \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{2 \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{1 - x^{2}} - 1\right)} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{4 \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\sqrt{1 - x^{2}} - 1\right)} + \frac{2 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{4 \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{i} \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(-1 + sqrt(1 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} = - \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}$$
- Sí
$$- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} = \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} = - \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}$$
- Sí
$$- \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} = \sqrt{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}$$
- No
es decir, función
es
par