Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(10)x+5/(x+2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         ____        5    
f(x) = \/ 10 *x + --------
                         2
                  (x + 2) 
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}}$$
f = sqrt(10)*x + 5/(x + 2)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{-8 + \frac{\sqrt{-256 + \left(-16 + \frac{27 \sqrt{10}}{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 \sqrt{10}}{4}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{-8 + \frac{\sqrt{-256 + \left(-16 + \frac{27 \sqrt{10}}{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 \sqrt{10}}{4}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.75726172446399$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(10)*x + 5/(x + 2)^2.
$$0 \sqrt{10} + \frac{5}{2^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{5}{4}$$
Punto:
(0, 5/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{5 \left(- 2 x - 4\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} + \sqrt{10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt[6]{10}$$
Signos de extremos en los puntos:
                2/3                        
      6 ____  10        ____ /     6 ____\ 
(-2 + \/ 10, ----- + \/ 10 *\-2 + \/ 10 /)
                2                          


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt[6]{10}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt[6]{10}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt[6]{10}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{30}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(10)*x + 5/(x + 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}}}{x}\right) = \sqrt{10}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \sqrt{10} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}}}{x}\right) = \sqrt{10}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \sqrt{10} x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}} = - \sqrt{10} x + \frac{5}{\left(2 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\sqrt{10} x + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}} = \sqrt{10} x - \frac{5}{\left(2 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar