Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 30313.0711583927$$
$$x_{2} = 39368.6894395282$$
$$x_{3} = 35987.101658533$$
$$x_{4} = 28027.5669832704$$
$$x_{5} = 46090.3625396016$$
$$x_{6} = -0.24730562832981$$
$$x_{7} = 44973.5248474526$$
$$x_{8} = 32588.989410925$$
$$x_{9} = 29171.5904995992$$
$$x_{10} = 37116.0176685265$$
$$x_{11} = 33723.6843051682$$
$$x_{12} = 48320.3048464994$$
$$x_{13} = 38243.1875642342$$
$$x_{14} = 40492.5953811719$$
$$x_{15} = 58300.9959035701$$
$$x_{16} = 52766.3998855945$$
$$x_{17} = 53875.2621041885$$
$$x_{18} = 24578.4567737346$$
$$x_{19} = 43855.3812200838$$
$$x_{20} = 54983.1242581985$$
$$x_{21} = 57195.9640585799$$
$$x_{22} = 50545.5498341066$$
$$x_{23} = 51656.5066853361$$
$$x_{24} = 49433.4947641099$$
$$x_{25} = 34856.3546906075$$
$$x_{26} = 42735.881529686$$
$$x_{27} = 41614.9721088897$$
$$x_{28} = 31452.1590866034$$
$$x_{29} = 47205.9412102245$$
$$x_{30} = 26880.8329973123$$
$$x_{31} = 25731.2004025347$$
$$x_{32} = 56090.0156444064$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.24730562832981\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-0.24730562832981, \infty\right)$$