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ln(x+sqrtx^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ ln(x+sqrtx^2-1)

Gráfico de la función y = ln(x+sqrtx^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /         2    \
          |      ___     |
f(x) = log\x + \/ x   - 1/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x\right) - 1 \right)}$$ 
f = log((sqrt(x))^2 + x - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x\right) - 1 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + (sqrt(x))^2 - 1).
$$\log{\left(-1 + \left(\sqrt{0}\right)^{2} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = i \pi$$
Punto:
(0, pi*i)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x\right) - 1 \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x\right) - 1 \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x\right) - 1 \right)} = \log{\left(- 2 x - 1 \right)}$$
- No
$$\log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x\right) - 1 \right)} = - \log{\left(- 2 x - 1 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(x+sqrtx^2-1)
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