Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^5-x

Gráfico de la función y = x^5-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        5    
f(x) = x  - x
f(x)=x5−xf{\left(x \right)} = x^{5} - x 
f = x^5 - x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x5−x=0x^{5} - x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=−1x_{3} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^5 - x.
05−00^{5} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5x4−1=05 x^{4} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5345x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}
x2=5345x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}
Signos de extremos en los puntos:
   3/4      3/4 
 -5      4*5    
(------, ------)
   5       25   

  3/4      3/4 
 5     -4*5    
(----, -------)
  5       25


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5345x_{1} = \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}
Puntos máximos de la función:
x1=−5345x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}
Decrece en los intervalos
(−∞,−5345]∪[5345,∞)\left(-\infty, - \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right] \cup \left[\frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−5345,5345]\left[- \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}, \frac{5^{\frac{3}{4}}}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
20x3=020 x^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x5−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x5−x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^5 - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x5−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - x}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x5−xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - x}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x5−x=−x5+xx^{5} - x = - x^{5} + x
- No
x5−x=x5−xx^{5} - x = x^{5} - x
- Sí
es decir, función
es
impar
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