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x^4-4x^3+10
Trazado el gráfico de la función/ x^4-4x^3+10

Gráfico de la función y = x^4-4x^3+10

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      3     
f(x) = x  - 4*x  + 10
f(x)=(x4−4x3)+10f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10 
f = x^4 - 4*x^3 + 10
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4−4x3)+10=0\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1+−210519+103−20310519+103+1620310519+103+4+210519+103+82+20310519+103+4+210519+1032x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10} - \frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}} + \frac{16}{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}} + 4 + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}}} + 8}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}} + 4 + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}}}{2}
x2=−−210519+103−20310519+103+1620310519+103+4+210519+103+82+1+20310519+103+4+210519+1032x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10} - \frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}} + \frac{16}{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}} + 4 + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}}} + 8}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}} + 4 + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{51}}{9} + 10}}}{2}
Solución numérica
x1=1.61179337850756x_{1} = 1.61179337850756
x2=3.82070437475716x_{2} = 3.82070437475716
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 4*x^3 + 10.
(04−4⋅03)+10\left(0^{4} - 4 \cdot 0^{3}\right) + 10
Resultado:
f(0)=10f{\left(0 \right)} = 10
Punto:
(0, 10)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−12x2=04 x^{3} - 12 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(0, 10)

(3, -17)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12x(x−2)=012 x \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4−4x3)+10)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−4x3)+10)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 4*x^3 + 10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4−4x3)+10x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4−4x3)+10x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4−4x3)+10=x4+4x3+10\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10 = x^{4} + 4 x^{3} + 10
- No
(x4−4x3)+10=−x4−4x3−10\left(x^{4} - 4 x^{3}\right) + 10 = - x^{4} - 4 x^{3} - 10
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-4x^3+10
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