Sr Examen

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sqrt(2*x-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2*x-x^2)

Gráfico de la función y = sqrt(2*x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________
         /        2 
f(x) = \/  2*x - x
f(x)=−x2+2xf{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + 2 x} 
f = sqrt(-x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+2x=0\sqrt{- x^{2} + 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2*x - x^2).
0⋅2−02\sqrt{0 \cdot 2 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−x−x2+2x=0\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1+(x−1)2x(2−x)x(2−x)=0- \frac{1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(2 - x\right)}}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞−x2+2x=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{2} + 2 x} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞−x2+2x=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{2} + 2 x} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+2xx)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(−x2+2xx)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + 2 x}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+2x=−x2−2x\sqrt{- x^{2} + 2 x} = \sqrt{- x^{2} - 2 x}
- No
−x2+2x=−−x2−2x\sqrt{- x^{2} + 2 x} = - \sqrt{- x^{2} - 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(2*x-x^2)
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