Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2x-3*x^(2/3)
-
2*x^2-x^3
-
(2*x-1)*e^(2/x)
-
(2x^2-1)/(x^4)
-
Expresiones idénticas
- (dos x^2- uno)/(x^ cuatro)
- (2x al cuadrado menos 1) dividir por (x en el grado 4)
- (dos x al cuadrado menos uno) dividir por (x en el grado cuatro)
- (2x2-1)/(x4)
- 2x2-1/x4
- (2x²-1)/(x⁴)
- (2x en el grado 2-1)/(x en el grado 4)
- 2x^2-1/x^4
- (2x^2-1) dividir por (x^4)
-
Expresiones semejantes
- (2x^2+1)/(x^4)
Gráfico de la función y = (2x^2-1)/(x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2*x - 1
f(x) = --------
4
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
f = (2*x^2 - 1)/x^4
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x}{x^{4}} - \frac{4 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{5}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x}{x^{4}} - \frac{4 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{5}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1)
(1, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \left(-7 + \frac{5 \left(2 x^{2} - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{4}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^2 - 1)/x^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 1}{x x^{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- Sí
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- Sí
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}} = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{4}}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico