Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2^{x + 1} \log{\left(2 \right)} - 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{\left(- 2^{x + 1} + 5^{x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 1 \
| --------|
| log(2/5)|
|/ / 2 \\ |
|| | ------|| |
|| | log(5)|| | 1
(-log\\log\2 // /, ----------------------------------------------------------------)
/ 1 \ / 1 \
| --------| | --------|
| log(2/5)| | log(2/5)|
|/ / 2 \\ | |/ / 2 \\ |
|| | ------|| | || | ------|| |
|| | log(5)|| | || | log(5)|| |
-log\\log\2 // / 1 - log\\log\2 // /
5 - 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}, \infty\right)$$