Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(5^x-2^(x+1))

Gráfico de la función y = 1/(5^x-2^(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1     
f(x) = -----------
        x    x + 1
       5  - 2
f(x)=1−2x+1+5xf{\left(x \right)} = \frac{1}{- 2^{x + 1} + 5^{x}} 
f = 1/(-2^(x + 1) + 5^x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.75647079736603x_{1} = 0.75647079736603
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−2x+1+5x=0\frac{1}{- 2^{x + 1} + 5^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(5^x - 2^(x + 1)).
1−21+50\frac{1}{- 2^{1} + 5^{0}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1log⁡(2)−5xlog⁡(5)(−2x+1+5x)2=0\frac{2^{x + 1} \log{\left(2 \right)} - 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{\left(- 2^{x + 1} + 5^{x}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−log⁡(log⁡(22log⁡(5))1log⁡(25))x_{1} = - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
     /                 1    \                                                                   
     |              --------|                                                                   
     |              log(2/5)|                                                                   
     |/   /   2   \\        |                                                                   
     ||   | ------||        |                                                                   
     ||   | log(5)||        |                                 1                                 
(-log\\log\2      //        /, ----------------------------------------------------------------)
                                    /                 1    \           /                 1    \ 
                                    |              --------|           |              --------| 
                                    |              log(2/5)|           |              log(2/5)| 
                                    |/   /   2   \\        |           |/   /   2   \\        | 
                                    ||   | ------||        |           ||   | ------||        | 
                                    ||   | log(5)||        |           ||   | log(5)||        | 
                                -log\\log\2      //        /    1 - log\\log\2      //        / 
                               5                             - 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−log⁡(log⁡(22log⁡(5))1log⁡(25))x_{1} = - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−log⁡(log⁡(22log⁡(5))1log⁡(25))]\left(-\infty, - \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[−log⁡(log⁡(22log⁡(5))1log⁡(25)),∞)\left[- \log{\left(\log{\left(2^{\frac{2}{\log{\left(5 \right)}}} \right)}^{\frac{1}{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2⋅2xlog⁡(2)2−5xlog⁡(5)2−2(2⋅2xlog⁡(2)−5xlog⁡(5))22⋅2x−5x(2⋅2x−5x)2=0\frac{2 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} - 5^{x} \log{\left(5 \right)}^{2} - \frac{2 \left(2 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} - 5^{x} \log{\left(5 \right)}\right)^{2}}{2 \cdot 2^{x} - 5^{x}}}{\left(2 \cdot 2^{x} - 5^{x}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.75647079736603x_{1} = 0.75647079736603
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1−2x+1+5x=−∞\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{- 2^{x + 1} + 5^{x}} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞1−2x+1+5x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 2^{x + 1} + 5^{x}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(5^x - 2^(x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(−2x+1+5x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(- 2^{x + 1} + 5^{x}\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(1x(−2x+1+5x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(- 2^{x + 1} + 5^{x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−2x+1+5x=1−21−x+5−x\frac{1}{- 2^{x + 1} + 5^{x}} = \frac{1}{- 2^{1 - x} + 5^{- x}}
- No
1−2x+1+5x=−1−21−x+5−x\frac{1}{- 2^{x + 1} + 5^{x}} = - \frac{1}{- 2^{1 - x} + 5^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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