Sr Examen

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(1/5)*(x+1)^2*cbrt(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (1/5)*(x+1)^2*cbrt(x-1)

Gráfico de la función y = (1/5)*(x+1)^2*cbrt(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2          
       (x + 1)  3 _______
f(x) = --------*\/ x - 1 
          5
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x - 1} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{5}$$ 
f = (x - 1)^(1/3)*((x + 1)^2/5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{x - 1} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1 + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}$$
$$x_{4} = 1 + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 1)^2/5)*(x - 1)^(1/3).
$$\sqrt[3]{-1} \frac{1^{2}}{5}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt[3]{-1}}{5}$$
Punto:
(0, (-1)^(1/3)/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{2 x}{5} + \frac{2}{5}\right) \sqrt[3]{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{15 \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{5}{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

          3 ____  2/3 
      144*\/ -2 *7    
(5/7, ---------------)
            1715


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x - 1} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{5}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x - 1} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)^2/5)*(x - 1)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left(x + 1\right)^{2}}{5 x}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \infty \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left(x + 1\right)^{2}}{5 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{x - 1} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{5} = \frac{\left(1 - x\right)^{2} \sqrt[3]{- x - 1}}{5}$$
- No
$$\sqrt[3]{x - 1} \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{5} = - \frac{\left(1 - x\right)^{2} \sqrt[3]{- x - 1}}{5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (1/5)*(x+1)^2*cbrt(x-1)
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