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Trazado el gráfico de la función/ x^3+2x^2-4x-8

Gráfico de la función y = x^3+2x^2-4x-8

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  + 2*x  - 4*x - 8
f(x)=(−4x+(x3+2x2))−8f{\left(x \right)} = \left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8 
f = -4*x + x^3 + 2*x^2 - 8
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−4x+(x3+2x2))−8=0\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 2*x^2 - 4*x - 8.
−8+((03+2⋅02)−0)-8 + \left(\left(0^{3} + 2 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)
Resultado:
f(0)=−8f{\left(0 \right)} = -8
Punto:
(0, -8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+4x−4=03 x^{2} + 4 x - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=23x_{2} = \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)

      -256  
(2/3, -----)
        27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[23,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,23]\left[-2, \frac{2}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+2)=02 \left(3 x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−4x+(x3+2x2))−8)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x+(x3+2x2))−8)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 2*x^2 - 4*x - 8, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−4x+(x3+2x2))−8x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x+(x3+2x2))−8x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−4x+(x3+2x2))−8=−x3+2x2+4x−8\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8 = - x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8
- No
(−4x+(x3+2x2))−8=x3−2x2−4x+8\left(- 4 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 8 = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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