Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(4+x^2)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          ________    
         /      2     
f(x) = \/  4 + x   - x
f(x)=x+x2+4f{\left(x \right)} = - x + \sqrt{x^{2} + 4}
f = -x + sqrt(x^2 + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010040
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+x2+4=0- x + \sqrt{x^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(4 + x^2) - x.
0+02+4- 0 + \sqrt{0^{2} + 4}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+41=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2x2+4+1x2+4=0\frac{- \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} + 1}{\sqrt{x^{2} + 4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x+x2+4)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(x+x2+4)=0\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4 + x^2) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x+x2+4x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 4}}{x}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = - 2 x
limx(x+x2+4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 4}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+x2+4=x+x2+4- x + \sqrt{x^{2} + 4} = x + \sqrt{x^{2} + 4}
- No
x+x2+4=xx2+4- x + \sqrt{x^{2} + 4} = - x - \sqrt{x^{2} + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar