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Gráfico de la función y = x^4-3x^2+7x-5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        4      2          
f(x) = x  - 3*x  + 7*x - 5
$$f{\left(x \right)} = \left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5$$
f = 7*x + x^4 - 3*x^2 - 5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{2517}}{2} + \frac{155}{2}}}{3} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{2517}}{2} + \frac{155}{2}}} - \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.55170104798514$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 3*x^2 + 7*x - 5.
$$-5 + \left(\left(0^{4} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 7\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -5$$
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 6 x + 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                4                                                          2                                                       
                                   _________________       /                                  _________________\      /                                  _________________\                                      _________________ 
                                  /            ____        |                                 /            ____ |      |                                 /            ____ |                                     /            ____  
                                 /  189   27*\/ 41         |                                /  189   27*\/ 41  |      |                                /  189   27*\/ 41  |                                    /  189   27*\/ 41   
                              3 /   --- + ---------        |                             3 /   --- + --------- |      |                             3 /   --- + --------- |                               7*3 /   --- + ---------  
              3               \/     8        8            |             3               \/     8        8     |      |             3               \/     8        8     |               21                \/     8        8      
(- ------------------------ - ----------------------, -5 + |- ------------------------ - ----------------------|  - 3*|- ------------------------ - ----------------------|  - ------------------------ - ------------------------)
          _________________             3                  |         _________________             3           |      |         _________________             3           |           _________________              3             
         /            ____                                 |        /            ____                          |      |        /            ____                          |          /            ____                             
        /  189   27*\/ 41                                  |       /  189   27*\/ 41                           |      |       /  189   27*\/ 41                           |         /  189   27*\/ 41                              
   2*3 /   --- + ---------                                 |  2*3 /   --- + ---------                          |      |  2*3 /   --- + ---------                          |    2*3 /   --- + ---------                             
     \/     8        8                                     \    \/     8        8                              /      \    \/     8        8                              /      \/     8        8                                 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(2 x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 3*x^2 + 7*x - 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5 = x^{4} - 3 x^{2} - 7 x - 5$$
- No
$$\left(7 x + \left(x^{4} - 3 x^{2}\right)\right) - 5 = - x^{4} + 3 x^{2} + 7 x + 5$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar