Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$4 x^{3} - 6 x + 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 2
_________________ / _________________\ / _________________\ _________________
/ ____ | / ____ | | / ____ | / ____
/ 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41 | | / 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41
3 / --- + --------- | 3 / --- + --------- | | 3 / --- + --------- | 7*3 / --- + ---------
3 \/ 8 8 | 3 \/ 8 8 | | 3 \/ 8 8 | 21 \/ 8 8
(- ------------------------ - ----------------------, -5 + |- ------------------------ - ----------------------| - 3*|- ------------------------ - ----------------------| - ------------------------ - ------------------------)
_________________ 3 | _________________ 3 | | _________________ 3 | _________________ 3
/ ____ | / ____ | | / ____ | / ____
/ 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41 | | / 189 27*\/ 41 | / 189 27*\/ 41
2*3 / --- + --------- | 2*3 / --- + --------- | | 2*3 / --- + --------- | 2*3 / --- + ---------
\/ 8 8 \ \/ 8 8 / \ \/ 8 8 / \/ 8 8
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{41}}{8} + \frac{189}{8}}}\right]$$