Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(4*x*x-2*x+1)

Gráfico de la función y = sqrt(4*x*x-2*x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _________________
f(x) = \/ 4*x*x - 2*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1}$$ 
f = sqrt(x*(4*x) - 2*x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((4*x)*x - 2*x + 1).
$$\sqrt{\left(0 \cdot 0 \cdot 4 - 0\right) + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x - 1}{\sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
      \/ 3  
(1/4, -----)
        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{2 x \left(2 x - 1\right) + 1} + 4}{\sqrt{2 x \left(2 x - 1\right) + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((4*x)*x - 2*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1}}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1}}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1} = \sqrt{4 x^{2} + 2 x + 1}$$
- No
$$\sqrt{\left(x 4 x - 2 x\right) + 1} = - \sqrt{4 x^{2} + 2 x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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