Sr Examen

Gráfico de la función y = 2x^3-6x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          3      
f(x) = 2*x  - 6*x
f(x)=2x36xf{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x
f = 2*x^3 - 6*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x36x=02 x^{3} - 6 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = - \sqrt{3}
x3=3x_{3} = \sqrt{3}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1.73205080756888x_{2} = -1.73205080756888
x3=1.73205080756888x_{3} = 1.73205080756888
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^3 - 6*x.
20302 \cdot 0^{3} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x26=06 x^{2} - 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 4)

(1, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(,1][1,)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,1]\left[-1, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12x=012 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(2x36x)=\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{3} - 6 x\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(2x36x)=\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} - 6 x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^3 - 6*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(2x36xx)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} - 6 x}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx(2x36xx)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} - 6 x}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x36x=2x3+6x2 x^{3} - 6 x = - 2 x^{3} + 6 x
- No
2x36x=2x36x2 x^{3} - 6 x = 2 x^{3} - 6 x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2x^3-6x