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Trazado el gráfico de la función/ 4-3x+6x^2-2x^3

Gráfico de la función y = 4-3x+6x^2-2x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    2      3
f(x) = 4 - 3*x + 6*x  - 2*x
f(x)=−2x3+(6x2+(4−3x))f{\left(x \right)} = - 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right) 
f = -2*x^3 + 6*x^2 + 4 - 3*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2x3+(6x2+(4−3x))=0- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12234+543+1+234+543x_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{23}}{4} + \frac{5}{4}}} + 1 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{23}}{4} + \frac{5}{4}}
Solución numérica
x1=2.71885362028209x_{1} = 2.71885362028209
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4 - 3*x + 6*x^2 - 2*x^3.
−2⋅03+(6⋅02+(4−0))- 2 \cdot 0^{3} + \left(6 \cdot 0^{2} + \left(4 - 0\right)\right)
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6x2+12x−3=0- 6 x^{2} + 12 x - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−22x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22+1x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
Signos de extremos en los puntos:
                             3                2           
       ___        /      ___\      /      ___\        ___ 
     \/ 2         |    \/ 2 |      |    \/ 2 |    3*\/ 2  
(1 - -----, 1 - 2*|1 - -----|  + 6*|1 - -----|  + -------)
       2          \      2  /      \      2  /       2    

                             3                2           
       ___        /      ___\      /      ___\        ___ 
     \/ 2         |    \/ 2 |      |    \/ 2 |    3*\/ 2  
(1 + -----, 1 - 2*|1 + -----|  + 6*|1 + -----|  - -------)
       2          \      2  /      \      2  /       2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1−22x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=22+1x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
Decrece en los intervalos
[1−22,22+1]\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1−22]∪[22+1,∞)\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(1−x)=012 \left(1 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2x3+(6x2+(4−3x)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−2x3+(6x2+(4−3x)))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4 - 3*x + 6*x^2 - 2*x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2x3+(6x2+(4−3x))x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−2x3+(6x2+(4−3x))x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2x3+(6x2+(4−3x))=2x3+6x2+3x+4- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 4
- No
−2x3+(6x2+(4−3x))=−2x3−6x2−3x−4- 2 x^{3} + \left(6 x^{2} + \left(4 - 3 x\right)\right) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 3 x - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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