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y=x³-3x²+5
Trazado el gráfico de la función/ y=x³-3x²+5

Gráfico de la función y = y=x³-3x²+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2    
f(x) = x  - 3*x  + 5
f(x)=(x3−3x2)+5f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5 
f = x^3 - 3*x^2 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−3x2)+5=0\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2752+81233−32752+8123+1x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{5}}{2} + \frac{81}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{5}}{2} + \frac{81}{2}}} + 1
Solución numérica
x1=−1.10380340273554x_{1} = -1.10380340273554
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 3*x^2 + 5.
(03−3⋅02)+5\left(0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 5
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−6x=03 x^{2} - 6 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, 5)

(2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−1)=06 \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3−3x2)+5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−3x2)+5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 3*x^2 + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3−3x2)+5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−3x2)+5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−3x2)+5=−x3−3x2+5\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5 = - x^{3} - 3 x^{2} + 5
- No
(x3−3x2)+5=x3+3x2−5\left(x^{3} - 3 x^{2}\right) + 5 = x^{3} + 3 x^{2} - 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x³-3x²+5
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