Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x+4
-
(1/3)^x
-
x/(x-3)
-
x/(x^2-9)
- Límite de la función:
-
(8+x^2)/(8+(1+x)^2)
-
Expresiones idénticas
- (ocho +x^ dos)/(ocho +(uno +x)^ dos)
- (8 más x al cuadrado ) dividir por (8 más (1 más x) al cuadrado )
- (ocho más x en el grado dos) dividir por (ocho más (uno más x) en el grado dos)
- (8+x2)/(8+(1+x)2)
- 8+x2/8+1+x2
- (8+x²)/(8+(1+x)²)
- (8+x en el grado 2)/(8+(1+x) en el grado 2)
- 8+x^2/8+1+x^2
- (8+x^2) dividir por (8+(1+x)^2)
-
Expresiones semejantes
- (8+x^2)/(8+(1-x)^2)
- (8+x^2)/(8-(1+x)^2)
- (8-x^2)/(8+(1+x)^2)
Gráfico de la función y = (8+x^2)/(8+(1+x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
8 + x
f(x) = ------------
2
8 + (1 + x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}$$
f = (x^2 + 8)/((x + 1)^2 + 8)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} + \frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x^{2} + 8\right)}{\left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} + \frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x^{2} + 8\right)}{\left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ____\
| 1 \/ 33 |
____ 8 + |- - + ------|
1 \/ 33 \ 2 2 /
(- - + ------, -------------------)
2 2 2
/ ____\
|1 \/ 33 |
8 + |- + ------|
\2 2 / 2
/ ____\
| 1 \/ 33 |
____ 8 + |- - - ------|
1 \/ 33 \ 2 2 /
(- - - ------, -------------------)
2 2 2
/ ____\
|1 \/ 33 |
8 + |- - ------|
\2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{33}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} + \frac{\left(x^{2} + 8\right) \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{33}{4 \sqrt[3]{\frac{33}{8} + \frac{33 \sqrt{2} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{33}{8} + \frac{33 \sqrt{2} i}{2}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2} + \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} + \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} + \frac{\left(x^{2} + 8\right) \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{33}{4 \sqrt[3]{\frac{33}{8} + \frac{33 \sqrt{2} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{33}{8} + \frac{33 \sqrt{2} i}{2}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2} + \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} + \sqrt{33} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8 + x^2)/(8 + (1 + x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x \left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x \left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x \left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{x \left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = \frac{x^{2} + 8}{\left(1 - x\right)^{2} + 8}$$
- No
$$\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = - \frac{x^{2} + 8}{\left(1 - x\right)^{2} + 8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = \frac{x^{2} + 8}{\left(1 - x\right)^{2} + 8}$$
- No
$$\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8} = - \frac{x^{2} + 8}{\left(1 - x\right)^{2} + 8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar