Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
- Gráfico de la función y =:
- (8+x^2)/(8+(1+x)^2)
-
Expresiones idénticas
- (ocho +x^ dos)/(ocho +(uno +x)^ dos)
- (8 más x al cuadrado ) dividir por (8 más (1 más x) al cuadrado )
- (ocho más x en el grado dos) dividir por (ocho más (uno más x) en el grado dos)
- (8+x2)/(8+(1+x)2)
- 8+x2/8+1+x2
- (8+x²)/(8+(1+x)²)
- (8+x en el grado 2)/(8+(1+x) en el grado 2)
- 8+x^2/8+1+x^2
- (8+x^2) dividir por (8+(1+x)^2)
-
Expresiones semejantes
- (8+x^2)/(8+(1-x)^2)
- (8+x^2)/(8-(1+x)^2)
- (8-x^2)/(8+(1+x)^2)
Límite de la función (8+x^2)/(8+(1+x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 8 + x |
lim |------------|
x->oo| 2|
\8 + (1 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$
Limit((8 + x^2)/(8 + (1 + x)^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{2} + 1}{9 u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{8 \cdot 0^{2} + 1}{0 \cdot 2 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{2} + 1}{9 u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{8 \cdot 0^{2} + 1}{0 \cdot 2 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(\left(x + 1\right)^{2} + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{8}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{8}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{8}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{8}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8}{\left(x + 1\right)^{2} + 8}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico