Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (dos *x/(uno + dos *x))^x
- (2 multiplicar por x dividir por (1 más 2 multiplicar por x)) en el grado x
- (dos multiplicar por x dividir por (uno más dos multiplicar por x)) en el grado x
- (2*x/(1+2*x))x
- 2*x/1+2*xx
- (2x/(1+2x))^x
- (2x/(1+2x))x
- 2x/1+2xx
- 2x/1+2x^x
- (2*x dividir por (1+2*x))^x
-
Expresiones semejantes
- (2*x/(1-2*x))^x
Límite de la función (2*x/(1+2*x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ 2*x \
lim |-------|
x->oo\1 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x}$$
Limit(((2*x)/(1 + 2*x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) - 1}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2 x + 1}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) - 1}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2 x + 1}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x}{2 x + 1}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico