Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-exp(-3*x)-exp(-2*x)-exp(2*x)
-
8*x/(x^2+4)
-
(8*x)/(x^2+4)
-
e^(x+1/x)
- Integral de d{x}:
- (x+2)/(x^2+4x+5)
-
Expresiones idénticas
- (x+ dos)/(x^ dos +4x+ cinco)
- (x más 2) dividir por (x al cuadrado más 4x más 5)
- (x más dos) dividir por (x en el grado dos más 4x más cinco)
- (x+2)/(x2+4x+5)
- x+2/x2+4x+5
- (x+2)/(x²+4x+5)
- (x+2)/(x en el grado 2+4x+5)
- x+2/x^2+4x+5
- (x+2) dividir por (x^2+4x+5)
-
Expresiones semejantes
- (x+2)/(x^2+4x-5)
- (x+2)/(x^2-4x+5)
- (x-2)/(x^2+4x+5)
Gráfico de la función y = (x+2)/(x^2+4x+5)
Solución
Ha introducido
[src]
x + 2
f(x) = ------------
2
x + 4*x + 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}$$
f = (x + 2)/(x^2 + 4*x + 5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 4\right) \left(x + 2\right)}{\left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 5\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 4\right) \left(x + 2\right)}{\left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 5\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -1/2)
(-1, 1/2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x + 2\right) \left(\frac{4 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5} - 3\right)}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -2 + \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt{3}, -2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2, -2 + \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x + 2\right) \left(\frac{4 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5} - 3\right)}{\left(x^{2} + 4 x + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = -2 + \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt{3}, -2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2, -2 + \sqrt{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)/(x^2 + 4*x + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 5\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = \frac{2 - x}{x^{2} - 4 x + 5}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = - \frac{2 - x}{x^{2} - 4 x + 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = \frac{2 - x}{x^{2} - 4 x + 5}$$
- No
$$\frac{x + 2}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5} = - \frac{2 - x}{x^{2} - 4 x + 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar