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y=x^2+3x-4/x+1
Trazado el gráfico de la función/ y=x^2+3x-4/x+1

Gráfico de la función y = y=x^2+3x-4/x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2         4    
f(x) = x  + 3*x - - + 1
                  x
f(x)=((x2+3x)−4x)+1f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1 
f = x^2 + 3*x - 4/x + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x2+3x)−4x)+1=0\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+2363318+323+63318+323x_{1} = -1 + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{633}}{18} + \frac{3}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{633}}{18} + \frac{3}{2}}
Solución numérica
x1=0.893289196304498x_{1} = 0.893289196304498
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 + 3*x - 4/x + 1.
((02+0⋅3)−40)+1\left(\left(0^{2} + 0 \cdot 3\right) - \frac{4}{0}\right) + 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+3+4x2=02 x + 3 + \frac{4}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−4x3)=02 \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=223x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1−4x3))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(1−4x3))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[223,∞)\left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,223]\left(-\infty, 2^{\frac{2}{3}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((x2+3x)−4x)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2+3x)−4x)+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 + 3*x - 4/x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x2+3x)−4x)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2+3x)−4x)+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x2+3x)−4x)+1=x2−3x+1+4x\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1 = x^{2} - 3 x + 1 + \frac{4}{x}
- No
((x2+3x)−4x)+1=−x2+3x−1−4x\left(\left(x^{2} + 3 x\right) - \frac{4}{x}\right) + 1 = - x^{2} + 3 x - 1 - \frac{4}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^2+3x-4/x+1
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