Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3cos(x+(pi/6))

Gráfico de la función y = 3cos(x+(pi/6))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /    pi\
f(x) = 3*cos|x + --|
            \    6 /
f(x)=3cos⁡(x+π6)f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} 
f = 3*cos(x + pi/6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x+π6)=03 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−55.5014702134197x_{1} = -55.5014702134197
x2=−11.5191730631626x_{2} = -11.5191730631626
x3=−42.9350995990605x_{3} = -42.9350995990605
x4=−30.3687289847013x_{4} = -30.3687289847013
x5=−14.6607657167524x_{5} = -14.6607657167524
x6=−33.5103216382911x_{6} = -33.5103216382911
x7=−46.0766922526503x_{7} = -46.0766922526503
x8=−64.9262481741891x_{8} = -64.9262481741891
x9=−49.2182849062401x_{9} = -49.2182849062401
x10=−52.3598775598299x_{10} = -52.3598775598299
x11=38.7463093942741x_{11} = 38.7463093942741
x12=−27.2271363311115x_{12} = -27.2271363311115
x13=−90.0589894029074x_{13} = -90.0589894029074
x14=−74.3510261349584x_{14} = -74.3510261349584
x15=−8.37758040957278x_{15} = -8.37758040957278
x16=1.0471975511966x_{16} = 1.0471975511966
x17=51.3126800086333x_{17} = 51.3126800086333
x18=104.71975511966x_{18} = 104.71975511966
x19=−96.342174710087x_{19} = -96.342174710087
x20=85.870199198121x_{20} = 85.870199198121
x21=95.2949771588904x_{21} = 95.2949771588904
x22=10.471975511966x_{22} = 10.471975511966
x23=−99.4837673636768x_{23} = -99.4837673636768
x24=60.7374579694027x_{24} = 60.7374579694027
x25=26.1799387799149x_{25} = 26.1799387799149
x26=79.5870138909414x_{26} = 79.5870138909414
x27=76.4454212373516x_{27} = 76.4454212373516
x28=57.5958653158129x_{28} = 57.5958653158129
x29=82.7286065445312x_{29} = 82.7286065445312
x30=−77.4926187885482x_{30} = -77.4926187885482
x31=−39.7935069454707x_{31} = -39.7935069454707
x32=−61.7846555205993x_{32} = -61.7846555205993
x33=−17.8023583703422x_{33} = -17.8023583703422
x34=35.6047167406843x_{34} = 35.6047167406843
x35=−83.7758040957278x_{35} = -83.7758040957278
x36=41.8879020478639x_{36} = 41.8879020478639
x37=92.1533845053006x_{37} = 92.1533845053006
x38=−58.6430628670095x_{38} = -58.6430628670095
x39=73.3038285837618x_{39} = 73.3038285837618
x40=45.0294947014537x_{40} = 45.0294947014537
x41=32.4631240870945x_{41} = 32.4631240870945
x42=70.162235930172x_{42} = 70.162235930172
x43=48.1710873550435x_{43} = 48.1710873550435
x44=−80.634211442138x_{44} = -80.634211442138
x45=29.3215314335047x_{45} = 29.3215314335047
x46=−2.0943951023932x_{46} = -2.0943951023932
x47=16.7551608191456x_{47} = 16.7551608191456
x48=−5.23598775598299x_{48} = -5.23598775598299
x49=−68.0678408277789x_{49} = -68.0678408277789
x50=−24.0855436775217x_{50} = -24.0855436775217
x51=89.0117918517108x_{51} = 89.0117918517108
x52=54.4542726622231x_{52} = 54.4542726622231
x53=−93.2005820564972x_{53} = -93.2005820564972
x54=67.0206432765823x_{54} = 67.0206432765823
x55=98.4365698124802x_{55} = 98.4365698124802
x56=23.0383461263252x_{56} = 23.0383461263252
x57=63.8790506229925x_{57} = 63.8790506229925
x58=7.33038285837618x_{58} = 7.33038285837618
x59=−20.943951023932x_{59} = -20.943951023932
x60=−36.6519142918809x_{60} = -36.6519142918809
x61=19.8967534727354x_{61} = 19.8967534727354
x62=−71.2094334813686x_{62} = -71.2094334813686
x63=4.18879020478639x_{63} = 4.18879020478639
x64=−86.9173967493176x_{64} = -86.9173967493176
x65=13.6135681655558x_{65} = 13.6135681655558
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(x + pi/6).
3cos⁡(π6)3 \cos{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=332f{\left(0 \right)} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, 3*sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x+π6)=0- 3 \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi        /pi   pi\ 
(----, 3*cos|-- - --|)
  6         \6    6 / 

 5*pi        /pi   pi\ 
(----, -3*sin|-- + --|)
  6          \3    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x+π6)=0- 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x+π6))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x+π6))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(x + pi/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x+π6)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x+π6)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x+π6)=3cos⁡(x−π6)3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 3 \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
3cos⁡(x+π6)=−3cos⁡(x−π6)3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - 3 \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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