Sr Examen

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3*cos(x+pi/6)-2
Trazado el gráfico de la función/ 3*cos(x+pi/6)-2

Gráfico de la función y = 3*cos(x+pi/6)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /    pi\    
f(x) = 3*cos|x + --| - 2
            \    6 /
f(x)=3cos⁡(x+π6)−2f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 
f = 3*cos(x + pi/6) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x+π6)−2=03 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π6+acos⁡(23)x_{1} = - \frac{\pi}{6} + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}
x2=−acos⁡(23)+11π6x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \frac{11 \pi}{6}
Solución numérica
x1=4.91851786101336x_{1} = 4.91851786101336
x2=88.2820641954838x_{2} = 88.2820641954838
x3=−64.1965205179621x_{3} = -64.1965205179621
x4=−93.9303097127242x_{4} = -93.9303097127242
x5=69.4325082739451x_{5} = 69.4325082739451
x6=−51.6301499036029x_{6} = -51.6301499036029
x7=56.8661376595859x_{7} = 56.8661376595859
x8=6.60065520214922x_{8} = 6.60065520214922
x9=81.9988788883043x_{9} = 81.9988788883043
x10=−87.6471244055446x_{10} = -87.6471244055446
x11=−32.7805939820642x_{11} = -32.7805939820642
x12=−83.0460764395009x_{12} = -83.0460764395009
x13=63.1493229667655x_{13} = 63.1493229667655
x14=17.4848884753725x_{14} = 17.4848884753725
x15=61.4671856256296x_{15} = 61.4671856256296
x16=−2910.47946467031x_{16} = -2910.47946467031
x17=23.7680737825521x_{17} = 23.7680737825521
x18=−1.36466744616623x_{18} = -1.36466744616623
x19=−45.3469645964233x_{19} = -45.3469645964233
x20=−20.214223367705x_{20} = -20.214223367705
x21=86.599926854348x_{21} = 86.599926854348
x22=−76.7628911323213x_{22} = -76.7628911323213
x23=75.7156935811247x_{23} = 75.7156935811247
x24=12.8838405093288x_{24} = 12.8838405093288
x25=74.0335562399888x_{25} = 74.0335562399888
x26=−68.7975684840058x_{26} = -68.7975684840058
x27=−39.0637792892437x_{27} = -39.0637792892437
x28=−75.0807537911854x_{28} = -75.0807537911854
x29=−81.363939098365x_{29} = -81.363939098365
x30=12861.9977936916x_{30} = 12861.9977936916
x31=−70.4797058251417x_{31} = -70.4797058251417
x32=−5.96571541220996x_{32} = -5.96571541220996
x33=55.18400031845x_{33} = 55.18400031845
x34=−43.6648272552875x_{34} = -43.6648272552875
x35=19.1670258165084x_{35} = 19.1670258165084
x36=100.848434809843x_{36} = 100.848434809843
x37=−56.2311978696466x_{37} = -56.2311978696466
x38=92.8831121615276x_{38} = 92.8831121615276
x39=80.3167415471684x_{39} = 80.3167415471684
x40=−57.9133352107825x_{40} = -57.9133352107825
x41=30.0512590897317x_{41} = 30.0512590897317
x42=50.5829523524063x_{42} = 50.5829523524063
x43=44.2997670452267x_{43} = 44.2997670452267
x44=−12.2489007193895x_{44} = -12.2489007193895
x45=−26.4974086748846x_{45} = -26.4974086748846
x46=36.3344443969113x_{46} = 36.3344443969113
x47=−13.9310380605254x_{47} = -13.9310380605254
x48=11.2017031681929x_{48} = 11.2017031681929
x49=−62.5143831768262x_{49} = -62.5143831768262
x50=−100.213495019904x_{50} = -100.213495019904
x51=25.450211123688x_{51} = 25.450211123688
x52=0.317469894969631x_{52} = 0.317469894969631
x53=38.0165817380472x_{53} = 38.0165817380472
x54=−31.0984566409283x_{54} = -31.0984566409283
x55=−95.61244705386x_{55} = -95.61244705386
x56=42.6176297040909x_{56} = 42.6176297040909
x57=99.1662974687072x_{57} = 99.1662974687072
x58=−7.64785275334582x_{58} = -7.64785275334582
x59=−37.3816419481079x_{59} = -37.3816419481079
x60=−49.9480125624671x_{60} = -49.9480125624671
x61=31.7333964308676x_{61} = 31.7333964308676
x62=−18.5320860265691x_{62} = -18.5320860265691
x63=−89.3292617466804x_{63} = -89.3292617466804
x64=−24.8152713337487x_{64} = -24.8152713337487
x65=94.5652495026634x_{65} = 94.5652495026634
x66=67.7503709328092x_{66} = 67.7503709328092
x67=48.9008150112705x_{67} = 48.9008150112705
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(x + pi/6) - 2.
−2+3cos⁡(π6)-2 + 3 \cos{\left(\frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=−2+332f{\left(0 \right)} = -2 + \frac{3 \sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, -2 + 3*sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x+π6)=0- 3 \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi             /pi   pi\ 
(----, -2 + 3*cos|-- - --|)
  6              \6    6 / 

 5*pi            /pi   pi\ 
(----, -2 - 3*sin|-- + --|)
  6              \3    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x+π6)=0- 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x+π6)−2)=⟨−5,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2\right) = \left\langle -5, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,1⟩y = \left\langle -5, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x+π6)−2)=⟨−5,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2\right) = \left\langle -5, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,1⟩y = \left\langle -5, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(x + pi/6) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x+π6)−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x+π6)−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x+π6)−2=3cos⁡(x−π6)−23 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 = 3 \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)} - 2
- No
3cos⁡(x+π6)−2=2−3cos⁡(x−π6)3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} - 2 = 2 - 3 \cos{\left(x - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*cos(x+pi/6)-2
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