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Trazado el gráfico de la función/ -4x^4-3,5x^3-3,5x^2+7x-4

Gráfico de la función y = -4x^4-3,5x^3-3,5x^2+7x-4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   3      2          
            4   7*x    7*x           
f(x) = - 4*x  - ---- - ---- + 7*x - 4
                 2      2
f(x)=(7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4f{\left(x \right)} = \left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4 
f = 7*x - 7*x^2/2 - 4*x^4 - 7*x^3/2 - 4
Gráfico de la función
0-80-60-40-2020406080-100100-500000000500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4=0\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -4*x^4 - 7*x^3/2 - 7*x^2/2 + 7*x - 4.
−4+(((−4⋅04−7⋅032)−7⋅022)+0⋅7)-4 + \left(\left(\left(- 4 \cdot 0^{4} - \frac{7 \cdot 0^{3}}{2}\right) - \frac{7 \cdot 0^{2}}{2}\right) + 0 \cdot 7\right)
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−16x3−21x22−7x+7=0- 16 x^{3} - \frac{21 x^{2}}{2} - 7 x + 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−732−3013072839332768+711534792163+839332768+711534792163x_{1} = - \frac{7}{32} - \frac{301}{3072 \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}} + \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         2                                                                            3 
                                                                                                                                                                                                                                  /            ______________________                                   \      /            ______________________                                   \  
                                                                                                                                                                                                                                  |           /             ________                                    |      |           /             ________                                    |  
                                                                                                                                                                                                                                  |  7       /   8393   7*\/ 115347                   301               |      |  7       /   8393   7*\/ 115347                   301               |  
                                                                                                                                                                                                                                7*|- -- + 3 /   ----- + ------------  - --------------------------------|    7*|- -- + 3 /   ----- + ------------  - --------------------------------|  
                                                                                                                                                                                                                                  |  32   \/    32768       9216                  ______________________|      |  32   \/    32768       9216                  ______________________|  
                                                                                                                                                         4                                                                        |                                              /             ________ |      |                                              /             ________ |  
             ______________________                                               /            ______________________                                   \           ______________________                                        |                                             /   8393   7*\/ 115347  |      |                                             /   8393   7*\/ 115347  |  
            /             ________                                                |           /             ________                                    |          /             ________                                         |                                     3072*3 /   ----- + ------------ |      |                                     3072*3 /   ----- + ------------ |  
   7       /   8393   7*\/ 115347                   301                   177     |  7       /   8393   7*\/ 115347                   301               |         /   8393   7*\/ 115347                   2107                   \                                          \/    32768       9216     /      \                                          \/    32768       9216     /  
(- -- + 3 /   ----- + ------------  - --------------------------------, - --- - 4*|- -- + 3 /   ----- + ------------  - --------------------------------|  + 7*3 /   ----- + ------------  - -------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------------------------)
   32   \/    32768       9216                  ______________________     32     |  32   \/    32768       9216                  ______________________|      \/    32768       9216                  ______________________                                       2                                                                            2                                      
                                               /             ________             |                                              /             ________ |                                             /             ________                                                                                                                                                            
                                              /   8393   7*\/ 115347              |                                             /   8393   7*\/ 115347  |                                            /   8393   7*\/ 115347                                                                                                                                                             
                                      3072*3 /   ----- + ------------             |                                     3072*3 /   ----- + ------------ |                                    3072*3 /   ----- + ------------                                                                                                                                                            
                                           \/    32768       9216                 \                                          \/    32768       9216     /                                         \/    32768       9216


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−732−3013072839332768+711534792163+839332768+711534792163x_{1} = - \frac{7}{32} - \frac{301}{3072 \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}} + \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−732−3013072839332768+711534792163+839332768+711534792163]\left(-\infty, - \frac{7}{32} - \frac{301}{3072 \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}} + \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}\right]
Crece en los intervalos
[−732−3013072839332768+711534792163+839332768+711534792163,∞)\left[- \frac{7}{32} - \frac{301}{3072 \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}} + \sqrt[3]{\frac{8393}{32768} + \frac{7 \sqrt{115347}}{9216}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(48x2+21x+7)=0- (48 x^{2} + 21 x + 7) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -4*x^4 - 7*x^3/2 - 7*x^2/2 + 7*x - 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4=−4x4+7x32−7x22−7x−4\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4 = - 4 x^{4} + \frac{7 x^{3}}{2} - \frac{7 x^{2}}{2} - 7 x - 4
- No
(7x+(−7x22+(−4x4−7x32)))−4=4x4−7x32+7x22+7x+4\left(7 x + \left(- \frac{7 x^{2}}{2} + \left(- 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2}\right)\right)\right) - 4 = 4 x^{4} - \frac{7 x^{3}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} + 7 x + 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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