Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=(x+1)^3 y=(x+1)^3
  • y=2x y=2x
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 3-x^2 3-x^2
  • Integral de d{x}:
  • x^2sqrt(4-x^2)
  • Expresiones idénticas

  • x^ dos sqrt(cuatro -x^2)
  • x al cuadrado raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado )
  • x en el grado dos raíz cuadrada de (cuatro menos x al cuadrado )
  • x^2√(4-x^2)
  • x2sqrt(4-x2)
  • x2sqrt4-x2
  • x²sqrt(4-x²)
  • x en el grado 2sqrt(4-x en el grado 2)
  • x^2sqrt4-x^2
  • Expresiones semejantes

  • x^2sqrt(4+x^2)

Gráfico de la función y = x^2sqrt(4-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             ________
        2   /      2 
f(x) = x *\/  4 - x  
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
f = x^2*sqrt(4 - x^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*sqrt(4 - x^2).
$$0^{2} \sqrt{4 - 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___       ___ 
 -2*\/ 6   16*\/ 3  
(--------, --------)
    3         9     

     ___       ___ 
 2*\/ 6   16*\/ 3  
(-------, --------)
    3        9     


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
- Sí
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par