Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(ln(x)/x)

Gráfico de la función y = cos(ln(x)/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /log(x)\
f(x) = cos|------|
          \  x   /
f(x)=cos⁡(log⁡(x)x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} 
f = cos(log(x)/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(log⁡(x)x)=0\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(log(x)/x).
cos⁡(log⁡(0)0)\cos{\left(\frac{\log{\left(0 \right)}}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(−log⁡(x)x2+1x2)sin⁡(log⁡(x)x)=0- \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=ex_{2} = e
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)

       / -1\ 
(E, cos\e  /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=ex_{1} = e
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[e,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,e]\left[1, e\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2log⁡(x)−3)sin⁡(log⁡(x)x)+(log⁡(x)−1)2cos⁡(log⁡(x)x)xx3=0- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3344.44802728503x_{1} = 3344.44802728503
x2=5875.74935438494x_{2} = 5875.74935438494
x3=10509.4030752904x_{3} = 10509.4030752904
x4=3661.75924307414x_{4} = 3661.75924307414
x5=16236.1240962912x_{5} = 16236.1240962912
x6=11422.0679795991x_{6} = 11422.0679795991
x7=6189.18108828368x_{7} = 6189.18108828368
x8=8363.53596375479x_{8} = 8363.53596375479
x9=15339.3438205864x_{9} = 15339.3438205864
x10=8671.65096272814x_{10} = 8671.65096272814
x11=11725.4734391913x_{11} = 11725.4734391913
x12=4.20521095380742x_{12} = 4.20521095380742
x13=14440.1068339598x_{13} = 14440.1068339598
x14=5561.54825670711x_{14} = 5561.54825670711
x15=6501.86133098239x_{15} = 6501.86133098239
x16=4297.18474750558x_{16} = 4297.18474750558
x17=12028.4930208733x_{17} = 12028.4930208733
x18=3979.55227274679x_{18} = 3979.55227274679
x19=9898.77240418325x_{19} = 9898.77240418325
x20=14139.7810918046x_{20} = 14139.7810918046
x21=4614.32914839737x_{21} = 4614.32914839737
x22=15937.4589075644x_{22} = 15937.4589075644
x23=9592.75219325851x_{23} = 9592.75219325851
x24=12935.3560739884x_{24} = 12935.3560739884
x25=13236.9486965209x_{25} = 13236.9486965209
x26=12331.1389968598x_{26} = 12331.1389968598
x27=12633.4230016084x_{27} = 12633.4230016084
x28=7435.63120139171x_{28} = 7435.63120139171
x29=6813.81282780483x_{29} = 6813.81282780483
x30=5246.56883239806x_{30} = 5246.56883239806
x31=15638.5343288586x_{31} = 15638.5343288586
x32=8979.21122848193x_{32} = 8979.21122848193
x33=4930.81779546379x_{33} = 4930.81779546379
x34=15039.8805513466x_{34} = 15039.8805513466
x35=10814.0468749925x_{35} = 10814.0468749925
x36=10204.3169835921x_{36} = 10204.3169835921
x37=14740.137379608x_{37} = 14740.137379608
x38=8054.84364514281x_{38} = 8054.84364514281
x39=7125.06075027639x_{39} = 7125.06075027639
x40=7745.55030297912x_{40} = 7745.55030297912
x41=9286.23820293559x_{41} = 9286.23820293559
x42=13538.2108318163x_{42} = 13538.2108318163
x43=13839.1519563589x_{43} = 13839.1519563589
x44=11118.2636869515x_{44} = 11118.2636869515
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,4.20521095380742]\left(-\infty, 4.20521095380742\right]
Convexa en los intervalos
[4.20521095380742,∞)\left[4.20521095380742, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(log⁡(x)x)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡(log⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(log(x)/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(log⁡(x)x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(log⁡(x)x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(log⁡(x)x)=cos⁡(log⁡(−x)x)\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{\log{\left(- x \right)}}{x} \right)}
- No
cos⁡(log⁡(x)x)=−cos⁡(log⁡(−x)x)\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{\log{\left(- x \right)}}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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