Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(x^{2} \left(2 x + 4\right) + 2 x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)
(0, 0)
2 / 2 \
____ / ____\ / ____\ | / ____\ ____|
1 \/ 21 | 1 \/ 21 | | 6 \/ 21 | |16 | 1 \/ 21 | 4*\/ 21 |
(- - + ------, |- - + ------| *|- - + ------|*|-- + |- - + ------| + --------|)
5 5 \ 5 5 / \ 5 5 / \5 \ 5 5 / 5 /
2 / 2 \
____ / ____\ / ____\ | / ____\ ____|
1 \/ 21 | 1 \/ 21 | | 6 \/ 21 | |16 | 1 \/ 21 | 4*\/ 21 |
(- - - ------, |- - - ------| *|- - - ------|*|-- + |- - - ------| - --------|)
5 5 \ 5 5 / \ 5 5 / \5 \ 5 5 / 5 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}\right] \cup \left[0, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}\right]$$