Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4/4-8*x+2
-
x^2*(x^2+4x+4)*(x-1)
-
x^2-8x+12x
-
((x^2)-5)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(x^ dos + cuatro x+4)*(x- uno)
- x al cuadrado multiplicar por (x al cuadrado más 4x más 4) multiplicar por (x menos 1)
- x en el grado dos multiplicar por (x en el grado dos más cuatro x más 4) multiplicar por (x menos uno)
- x2*(x2+4x+4)*(x-1)
- x2*x2+4x+4*x-1
- x²*(x²+4x+4)*(x-1)
- x en el grado 2*(x en el grado 2+4x+4)*(x-1)
- x^2(x^2+4x+4)(x-1)
- x2(x2+4x+4)(x-1)
- x2x2+4x+4x-1
- x^2x^2+4x+4x-1
-
Expresiones semejantes
- x^2*(x^2+4x+4)*(x+1)
- x^2*(x^2+4x-4)*(x-1)
- x^2*(x^2-4x+4)*(x-1)
Gráfico de la función y = x^2*(x^2+4x+4)*(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2 / 2 \ f(x) = x *\x + 4*x + 4/*(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right)$$
f = (x^2*(x^2 + 4*x + 4))*(x - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(x^{2} \left(2 x + 4\right) + 2 x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}\right] \cup \left[0, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(x^{2} \left(2 x + 4\right) + 2 x \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)
(0, 0)
2 / 2 \
____ / ____\ / ____\ | / ____\ ____|
1 \/ 21 | 1 \/ 21 | | 6 \/ 21 | |16 | 1 \/ 21 | 4*\/ 21 |
(- - + ------, |- - + ------| *|- - + ------|*|-- + |- - + ------| + --------|)
5 5 \ 5 5 / \ 5 5 / \5 \ 5 5 / 5 / 2 / 2 \
____ / ____\ / ____\ | / ____\ ____|
1 \/ 21 | 1 \/ 21 | | 6 \/ 21 | |16 | 1 \/ 21 | 4*\/ 21 |
(- - - ------, |- - - ------| *|- - - ------|*|-- + |- - - ------| - --------|)
5 5 \ 5 5 / \ 5 5 / \5 \ 5 5 / 5 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{1}{5}\right] \cup \left[0, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{21}}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x^{2} \left(x + 2\right) + 2 x \left(x^{2} + 4 x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(x^{2} + 4 x \left(x + 2\right) + x \left(x + 4\right) + 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{5} - \frac{\sqrt[3]{\frac{54}{125} + \frac{27 \sqrt{29} i}{25}}}{3} - \frac{27}{25 \sqrt[3]{\frac{54}{125} + \frac{27 \sqrt{29} i}{25}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{29}}{2} \right)}}{3} \right)}}{5} - \frac{3}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{29}}{2} \right)}}{3} \right)}}{5} - \frac{3}{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(2 x^{2} \left(x + 2\right) + 2 x \left(x^{2} + 4 x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(x^{2} + 4 x \left(x + 2\right) + x \left(x + 4\right) + 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{5} - \frac{\sqrt[3]{\frac{54}{125} + \frac{27 \sqrt{29} i}{25}}}{3} - \frac{27}{25 \sqrt[3]{\frac{54}{125} + \frac{27 \sqrt{29} i}{25}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{29}}{2} \right)}}{3} \right)}}{5} - \frac{3}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{29}}{2} \right)}}{3} \right)}}{5} - \frac{3}{5}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x^2 + 4*x + 4))*(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right) = x^{2} \left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)$$
- No
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right) = - x^{2} \left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right) = x^{2} \left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)$$
- No
$$x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right) \left(x - 1\right) = - x^{2} \left(- x - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 4\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico