Gráfico de la función y = x-√(x^2-2x)

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              __________
             /  2       
f(x) = x - \/  x  - 2*x

f{\left(x \right)} = x - \sqrt{x^{2} - 2 x}

f = x - sqrt(x^2 - 2*x)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

x - \sqrt{x^{2} - 2 x} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = 0

Solución numérica

x_{1} = 3.99684975595772 \cdot 10^{28}

x_{2} = 7.05977520713829 \cdot 10^{31}

x_{3} = 5.37133132219585 \cdot 10^{27}

x_{4} = 0

x_{5} = 9.89699901027457 \cdot 10^{28}

x_{6} = 4.02151185444284 \cdot 10^{28}

x_{7} = 3.9137041091673 \cdot 10^{29}

x_{8} = 1.52807480658364 \cdot 10^{28}

x_{9} = 6.97687233421997 \cdot 10^{29}

x_{10} = 7.6829976405343 \cdot 10^{27}

x_{11} = 2.29759912094052 \cdot 10^{29}

x_{12} = 3.00697665450451 \cdot 10^{29}

x_{13} = 1.24326667037225 \cdot 10^{31}

x_{14} = 1.72296199895347 \cdot 10^{27}

x_{15} = 2.12682679243422 \cdot 10^{28}

x_{16} = 1.80402098024183 \cdot 10^{35}

x_{17} = 1.48713923292658 \cdot 10^{33}

x_{18} = 5.46762613606396 \cdot 10^{28}

x_{19} = 1.08845993661416 \cdot 10^{28}

x_{20} = 3.7173362684884 \cdot 10^{27}

x_{21} = 1.7456413829 \cdot 10^{29}

x_{22} = 6.91355286657697 \cdot 10^{34}

x_{23} = 2.54520622227674 \cdot 10^{27}

x_{24} = 2.93598164975147 \cdot 10^{28}

x_{25} = 7.38109302785261 \cdot 10^{28}

x_{26} = 2.46850650918714 \cdot 10^{28}

x_{27} = 2.98265763263682 \cdot 10^{35}

x_{28} = 1.3185054586785 \cdot 10^{29}

x_{29} = 1.56346864938916 \cdot 10^{32}

x_{30} = 1.09443948642466 \cdot 10^{34}

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - sqrt(x^2 - 2*x).

- \sqrt{0^{2} - 0}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 0

Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

- \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} + 1 = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

\frac{-1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}}{\sqrt{x \left(x - 2\right)}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{x^{2} - 2 x}\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{x^{2} - 2 x}\right) = 1

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 1

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - sqrt(x^2 - 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}}{x}\right) = 2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = 2 x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

x - \sqrt{x^{2} - 2 x} = - x - \sqrt{x^{2} + 2 x}

- No

x - \sqrt{x^{2} - 2 x} = x + \sqrt{x^{2} + 2 x}

- No
es decir, función
no es
par ni impar