Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 3/x+4/(x-1)

Gráfico de la función y = 3/x+4/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3     4  
f(x) = - + -----
       x   x - 1
f(x)=4x−1+3xf{\left(x \right)} = \frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x} 
f = 4/(x - 1) + 3/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4x−1+3x=0\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=37x_{1} = \frac{3}{7}
Solución numérica
x1=0.428571428571429x_{1} = 0.428571428571429
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3/x + 4/(x - 1).
4−1+30\frac{4}{-1} + \frac{3}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4(x−1)2−3x2=0- \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4(x−1)3+3x3)=02 \left(\frac{4}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6237+37+2637x_{1} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{7} + \frac{3}{7} + \frac{2 \sqrt[3]{6}}{7}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→0−(2(4(x−1)3+3x3))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{4}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(4(x−1)3+3x3))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{4}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3}{x^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(4(x−1)3+3x3))=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(\frac{4}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(4(x−1)3+3x3))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(\frac{4}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3}{x^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−6237+37+2637]\left(-\infty, - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{7} + \frac{3}{7} + \frac{2 \sqrt[3]{6}}{7}\right]
Convexa en los intervalos
[−6237+37+2637,∞)\left[- \frac{6^{\frac{2}{3}}}{7} + \frac{3}{7} + \frac{2 \sqrt[3]{6}}{7}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4x−1+3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(4x−1+3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3/x + 4/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x−1+3xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4x−1+3xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4x−1+3x=4−x−1−3x\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x} = \frac{4}{- x - 1} - \frac{3}{x}
- No
4x−1+3x=−4−x−1+3x\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{x} = - \frac{4}{- x - 1} + \frac{3}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор